Obiettivi Formativi

Il corso si prefigge di far acquisire padronanza nello studio di algoritmi numerici e della loro implementazione in ambiente di calcolo scientifico e di maturare un’analisi critica dei risultati ottenuti.

Learning Goals

This course enables students to gain skill in the study of numerical algorithms and their implementation in scientific computing environment and to mature critical analysis of the obtained results.

Metodi didattici

Le lezioni del corso sono integrate da esercitazioni pratiche svolte in laboratorio, in cui, fornite le conoscenze del linguaggio di programmazione FORTRAN e degli ambienti di sviluppo per il calcolo scientifico (come MATLAB, Octave e Scilab), si sviluppano l' implementazione e la sperimentazione di tutti gli algoritmi e i metodi numerici studiati durante il corso, e viene, anche, stimolata e acquisita l’analisi critica dei risultati ottenuti.

Teaching Methods

The course lectures are supplemented by practical exercises in the laboratory, during which, the knowledge of the programming language FORTRAN and development environments for scientific computing (like Matlab, Octave and Scilab) are given, in order to allow for the necessary implementation and experimentation of all the algorithms and numerical methods studied during the course. It is also stimulated a critical analysis of the obtained results.

Prerequisiti

Tutte le conoscenze fornite dai corsi di Analisi Matematica, Geometria I, Laboratorio di Analisi Numerica e Fondamenti di Informatica.

Prerequisites

Calculus, Geometry I, Foundations of Computer Science and Numerical Analysis Laboratory.

Verifiche dell'apprendimento

Le verifiche sull'apprendimento si basano su una serie di esercizi sugli argomenti del programma divisi in gradi gruppi, che prevedono l'implementazione, anche con uso di Librerie Scientifiche (come IMSL) degli algoritmi e la verifica di tali metodi numerici su diversi insiemi di dati. L'esame finale è orale.

Assessment

The assessment method involves the verification of exercises on the topics of the program, which require the implementation of the algorithms and the evaluation of the performance on different sets of data. The final exam is oral.

Programma del Corso

ALGEBRA LINEARE NUMERICA - METODI DIRETTI PER I SISTEMI LINEARI: Norme vettoriali e matriciali - Sistemi lineari - Risoluzione di sistemi lineari normali non singolari - Fattorizzazione LU - Il metodo di Gauss per risolvere un sistema lineare normale - Complessità computazionale dell'algoritmo di fattorizzazione di Gauss – Stabilità degli algoritmi di fattorizzazione - Stima dell'indice di condizionamento di una matrice - Inversione di una matrice con il metodo di Gauss-Jordan - Matrici simmetriche definite positive - Algoritmo di Cholesky - Matrici sparse - Risoluzione di un sistema tridiagonale - Fattorizzazione QR - Risoluzione di sistemi lineari sovradeterminati. ALGEBRA LINEARE NUMERICA - METODI ITERATIVI PER I SISTEMI LINEARI: Metodi iterativi per la risoluzione di sistemi lineari normali non singolari - Velocità di convergenza per i metodi iterativi – Condizioni di convergenza - Condizioni sufficienti per la convergenza di un metodo iterativo. Metodo di Jacobi - Metodo di Gauss-Seidel Metodi di rilassamento. Metodi del gradiente. Precondizionatori. ALGEBRA LINEARE NUMERICA: METODI PER LA DETERMINAZIONE DEGLI AUTOVALORI: Teoremi di localizzazione – Metodo delle potenze – Cenni sul metodo QR. INTERPOLAZIONE E APPROSSIMAZIONE DI DATI: Formulazione del problema - Polinomio di interpolazione: formula di Lagrange – Differenze divise - Polinomio di interpolazione: formula di Newton - Complessità computazionale degli algoritmi di interpolazione polinomiale – Stima dell’errore nell’interpolazione polinomiale – Il fenomeno di Runge – Metodo di approssimazione ai minimi quadrati – Approssimazione polinomiali - Funzioni Spline – Funzioni b-spline – Interpolazione e approssimazione con spline lineari e cubiche. Interpolazione trigonometrica. INTEGRAZIONE NUMERICA: Formule di quadratura di Newton-Cotes - Errore nelle formule di quadratura e grado di precisione - Formule di quadratura composite. Formule di quadratura gaussiane. EQUAZIONI ALLE DERIVATE ORDINARIE: Il problema di Cauchy - Metodi numerici ad un passo ed a più passi - Errori nelle formule ad un passo - Stima automatica del passo di integrazione - Convergenza, Consistenza e Stabilità delle formule.

Course Syllabus

NUMERICAL LINEAR ALGEBRA: DIRECT METHODS FOR LINEAR SYSTEMS. Solving linear systems. Factorization of a matrix. Method of Gauss . Computational cost of the algorithm of Gauss. Stability of factorization algorithms. Inversion of a matrix, method of Gauss-Jordan. Symmetric positive definite matrices. Cholesky algorithm. Sparse matrices. Solving a tridiagonal system. QR factorization. Solving linear systems over-determined. NUMERICAL LINEAR ALGEBRA: ITERATIVE METHODS FOR LINEAR SYSTEMS. Iterative methods for solving linear systems of ordinary non-singular. Convergence for iterative methods. Method of Jacobi. Method of Gauss-Seidel. Relaxation methods. Gradient method. Conjugate gradient method. Preconditioners. INTERPOLATION AND APPROXIMATION OF EXPERIMENTAL DATA. Formulation of the problem. Polynomial interpolation: Lagrange's formula. Divided differences. Polynomial Interpolation: Newton's formula. Computational cost of the polynomial interpolation algorithms. Error of polynomial interpolation. Runge's phenomenon. Least squares approximation. Polynomial approximation. Spline Functions. B-spline functions. Linear and cubic spline interpolation and approximation. Trigonometric interpolation. NUMERICAL INTEGRATION. Quadrature formulas of Newton-Cotes. Error in quadrature formulas and degree of precision. Composite quadrature formulas. Gaussian quadrature formulas, ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS. The Cauchy problem. One-step and multistep numerical methods. One-step formula errors. Automatic estimation of the integration step. Convergence, Consistency and Stability of formulas.