Obiettivi Formativi

Obiettivo del corso è fornire agli studenti i primi elementi di Teoria della misura e i risultati fondamentali dell'Analisi funzionale.

Metodi didattici

Lezioni frontali

Prerequisiti

I prerequisiti richiesti sono elementi di Topologia e di Analisi matematica di base.

Verifiche dell'apprendimento

Esame orale

Programma del Corso

La misura secondo Peano-Jordan e la misura secondo Lebesgue La teoria astratta della misura σ-algebre. Anelli e algebre. Sistemi di Dynkin. Contenuti e premisure. Misure. Misure esterne. Teorema di Charathéodory. Prolungamento di premisure. Teorema di coincidenza di due misure. Contenuti σ-finiti. Funzionale di Minkowski e sue proprietà. Spazi metrici e spazi normati Equivalenza della compattezza e della sequenziale compattezza negli spazi metrici. Spazi metrici completi. Spazi metrici totalmente limitati. Caratterizzazione degli spazi metrici compatti. Spazi normati. Chiusura lineare, chiusura convessa, chiusura assolutamente convessa di un insieme. Spazi di Banach. Spazi normati di dimensione finita. Lemma di Riesz. Caratterizzazione di Riesz della finito-dimensionalità di uno spazio normato. Operatori lineari tra spazi normati Operatori lineari. Isomorfismi lineari. Funzionali lineari. Caratterizzazione dell'inviluppo lineare di un insieme finito di funzionali lineari. Duale algebrico di uno spazio vettoriale. Vari criteri di continuità per operatori e funzionali lineari. Lo spazio degli operatori lineari e continui tra due spazi normati. Duale topologico di uno spazio normato. Richiami di topologia: insiemi rari, insiemi di I e II categoria, spazi di Baire. Il teorema della mappa aperta. Il teorema dell’inverso continuo. Il teorema delle due norme. Il teorema del grafico chiuso. Applicazione geometrica in uno spazio di Banach. Lemma di Osgood. Il principio dell’uniforme limitatezza. Il teorema di Banach-Steinhaus. Il teorema di Hahn-Banach e i teoremi di separazione Teorema di Hahn-Banach negli spazi vettoriali e suoi primi corollari. Teorema di Hahn-Banach negli spazi normati e sue conseguenze. Coppie di insiemi separati. Coppie di insiemi strettamente separati. Caratterizzazione della separazione di due insiemi non vuoti e convessi dei quali uno almeno abbia interno non vuoto. Caratterizzazione della stretta separazione di due insiemi non vuoti e convessi e suoi corollari. Teorema di stretta separazione per insiemi assolutamente convessi. Topologia debole La topologia debole di uno spazio normato. Coincidenza della chiusura convessa e della chiusura convessa debole di un insieme. Mappa canonica e sue proprietà. Topologia debole star. Confronto tra la topologia forte, la topologia debole e la topologia debole star nel duale topologico di uno spazio normato. Confronto tra i vari tipi di continuità di funzioni definite tra due spazi normati. Polari e loro proprietà. Il terorema della bipolare. Il teorema di Banach-Alaoglu. Il Teorema di Goldstine. Spazi di Banach riflessivi. Le caratterizzazioni di Kakutani e di James degli spazi di Banach riflessivi. Alcune interessanti proprietà degli spazi riflessivi. Spazi uniformemente convessi. Teorema di Milman-Pettis. Spazi di Hilbert Spazi pre-hilbertiani. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Caratterizzazione delle norme pre-hilbertiane. Spazi di Hilbert. Teorema della proiezione. Rappresentazione di uno spazio di Hilbert come somma diretta di un suo sottospazio vettoriale chiuso e del complemento ortogonale di questo. Il teorema di Riesz sulla rappresentazione dei funzionali lineari e continui negli spazi di Hilbert. Cenni alle disequazioni variazionali. Teorema di Stampacchia. Teorema di Lax-Milgram. Insiemi ortonormali. Serie di Fourier negli spazi di Hilbert. Disuguaglianza di Bessel. Identità di Parseval. Teorema di Riesz-Fischer. Esistenza di basi ortonormali per gli spazi di Hilbert separabili.