Obiettivi Formativi

Il corso di Analisi Matematica I affronta lo studio dei numeri reali e dei suoi sottoinsiemi notevoli introducendo i primi per via assiomatica. Affronta inoltre lo studio delle successioni e serie di numeri reali e delle funzioni reali di una variabile reale e, in particolare, le questioni riguardanti il calcolo dei limiti e il calcolo differenziale e integrale. L’obiettivo del corso è, quindi, quello di rendere lo studente capace di operare nell’ambito dei problemi tipici dell’analisi matematica in dimensione uno fornendo, nel contempo, nozioni e strumenti fondamentali per affrontare in modo efficace il prosieguo degli studi sia di Analisi Matematica che di discipline affini. Tra le competenze che il corso di Analisi Matematica I si propone di fornire vi sono: capacità di risoluzione di equazioni e disequazioni in R di vario tipo sfruttando le proprietà dei numeri reali; conoscenza delle funzioni elementari e delle loro proprietà e capacità di operare con esse; capacità di individuare proprietà di convergenza o divergenza di funzioni, successioni e serie numeriche e strategie risolutive per il calcolo del limite di una successione e la somma una serie; capacità di applicare i teoremi su limiti, continuità e derivabilità; capacità di affrontare lo studio completo di una funzione; capacità di calcolo di integrali definiti e indefiniti.

Learning Goals

The purpose of the course is studying the real numbers, the real functions of one real variable and the sequences and series of real numbers. The real numbers are introduced using an axiomatic approach. In particular, computations of limits and differential and integral calculus are the main topics that will be treated in the course. The aim of the course is to provide students with tools and concepts which are needed to successfully address one dimensional mathematical problems, advanced studies in mathematical anaysis, and study of related disciplines. Here is a list of skills that the course aims to provide: ability to solve equations and inequalities in R, ability to work with elementary functions, ability to detect convergence or divergence properties of functions, sequences and series as well as strategies to compute related limits and sums, ability to apply theorems on limits, continuity and derivability, ability to deal with the complete study of a function, ability to calculate definite and indefinite integrals.

Metodi didattici

Lezioni frontali ed esercitazioni.

Teaching Methods

Lectures and tutorials.

Prerequisiti

Calcolo algebrico elementare.

Prerequisites

Elementary algebraic calculus.

Verifiche dell'apprendimento

Esame scritto ed orale.

Assessment

Written and oral test.

Programma del Corso

Relazioni e funzioni tra insiemi. Funzioni invertibili. Funzioni Composte. L’ insieme R. Classi separate e contigue. Maggiorante, minorante, estremo superiore, estremo inferiore, massimo e minimo. L’insieme N. Principio di induzione. Gli insiemi Z e Q. Radice n-esima. Esponente razionale e reale. Calcolo combinatorio. Binomio di Newton. L’insieme C dei numeri complessi. Forma algebrica e trigonometrica dei numeri complessi. Formula di De Moivre. Radici n-esime. Funzioni reali di variabile reale. Funzioni monotone. Funzioni potenza, valore assoluto, esponenziale, logaritmica, trigonometriche, iperboliche e loro inverse. Proprietà delle funzioni elementari. Equazioni in R e in C. Disequazioni in R. Successioni in R. Limite di una successione: convergenza e divergenza. Teoremi sui limiti: unicità, permanenza del segno, confronto. Successioni monotone. Teorema sulle successioni monotone. Massimo e minimo limite. Successioni limitate. Successioni estratte. Teorema di Bolzano-Weierstrass. . Successioni di Cauchy. Operazioni con i limiti. Forme indeterminate. Limiti notevoli. Il numero di Nepero. Teoremi di Cesaro. Successioni definite per ricorrenza. Serie numeriche. Serie convergenti e divergenti. Somma di una serie. Serie notevoli: di Mengoli, telescopiche, armonica, armonica generalizzata e geometrica. Condizione di Cauchy per la convergenza di una serie. Criteri di convergenza: confronto, rapporto, radice, di Raabe, di condensazione. Serie di segno qualunque. Criterio di Abel e di Leibniz. Serie assolutamente convergenti. Riordinamento di una serie. Teorema di Riemann-Dini. Topologia in R: intervalli, insiemi aperti, insiemi chiusi, insiemi compatti. Intorni. Punti di accumulazione, di aderenza e punti isolati. Limiti di funzioni. Unicità del limite. Limite di funzioni monotone. Caratterizzazione sequenziale del limite. Operazioni con i limiti. Limite di funzioni composte e cambiamento di variabile nei limiti. Limite destro e sinistro. Teoremi sui limiti di funzioni. Limiti notevoli. Funzioni continue. Somma e prodotto di funzioni continue. Continuità della funzione composta. Continuità della funzione inversa. Discontinuità di prima, seconda e terza specie. Massimo e minimo assoluti. Teorema di Weierstrass, di esistenza degli zeri, e dei valori intermedi. Criterio di invertibilità. Uniforme continuità. Funzioni Lipschitziane. Teorema di Heine-Cantor. Derivata e significato geometrico. Derivabilità e continuità. Derivata destra e sinistra. Derivata di somma, prodotto e quoziente di due funzioni. Derivata della funzione composta e della funzione inversa. Derivate delle funzioni elementari. Massimo e minimo relativi di una funzione. Teorema di Fermat. Teorema di Rolle. Teorema di Cauchy. Teorema di Lagrange. Teorema di de L’Hospital. Criteri di monotonia e di stretta monotonia. Funzioni concave e convesse. Criteri di convessità. Studio del grafico di una funzione reale di variabile reale. Differenziale e suo significato geometrico. Differenziabilità e derivabilità. Polinomio di Taylor. Formula di Taylor con resto di Peano e di Lagrange. Applicazioni della Formula di Taylor al calcolo dei limiti. Integrabilità secondo Riemann e integrale di Riemann. Somme di Cauchy. Integrabilità delle funzioni continue e delle funzioni monotone. Teorema della media integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Applicazioni degli integrali al calcolo di aree. Integrali impropri. Criteri di convergenza. Primitive di una funzione. Integrale indefinito. Integrale indefinito delle funzioni elementari. Regole di integrazione: per decomposizione, per parti e per sostituzione. Integrazione di funzioni razionali e irrazionali. Integrali riducibili ad integrali di funzioni razionali.

Course Syllabus

Functions and Relations. Composition of functions. Invertible functions. Real numbers. Majorant, minorant, supremum and infimum. Integers and rationals. Induction Principle. n-root. Rational and real exponent. Combinatorial calculus. Newton’s binomial. Complex number. Algebraic and trigonometric representation of complex numbers. De Moivre formula. N-roots of a complex number. Equation in C. Real functions. Monotone functions. Elementary functions and their properties. Equations in R and in C. Inequalities in C. Sequences in R. Monotone sequences. Limit of a sequence: convergence and divergence. Theorems on limits of a sequence. Maximum and minimum limit. Bounded sequences. Subsequences and Bolzano-Weierstrass' Theorem. Cauchy sequences. Operations with limits. Indeterminate forms. Remarkable limits. The Nepero number. Cesaro's Theorems. Sequences defined by recurrence. Series. Convergent and divergent series. Sum of a series. Remarkable series: the Mengoli series, telescoping series, geometric series, generalized harmonic series. Cauchy condition for a series. Convergence criteria: comparison, ratio, root, Raab criterion, condensation. Changing sign series. Abel and Leibniz criteria. Absolute convergence. Rearrangements of series and Riemann-Dini Theorem. Topology in R: intervals, open sets, closed sete, compact sets, neighborhoods. Accumulation points, cluster points, isolated points. Limit of a function. Uniqueness of limit. Operations with limits. Limit of composite functions and change of variables. Left and right limit. Theorems on limiti of functions. Remarkable limits. Continuous functions. Sum and product of continuous functions. Continuity of composite and inverse functions. Different types of discontinuity. Global maximum and minimum. Weierstrass' Theorem. Existence of zeros and intermediate values theorem.s. Invertibility criterion. Uniform continuity. Lipschitz functions. Heine-Cantor Theorems. Derivative and geometric meaning. Left and right derivative. Operations with derivatives. Derivative of composite and inverse function. Derivative of elementary functions. Local maximum and minimum of a function. Fermat's Theorem. Rolle's Theorem. Cauchy Theorem. Lagrange Theorem. De L'Hospital Theorem. Monotonicity and strict monotonicity criteria. Convex and concave functions. Convexity criteria. Study of a real function. Differential and geometric meaning. Differentiability and derivability. Taylor's polynomial. Taylor's formula with Peano and Lagrange remainder. Computation of limits by Taylor's expansion. Riemann integrability and Riemann integral. Cauchy's sums. Integrability of continuous functions and monotone functions. Mean value theorem for integrals. Fundamental Calculus Theorem. Application of integrals in computation of plane areas. Improper integrals and convergence criteria. Primitives and indefinite integral. Indefinite integral of elementary functions. Integration rules: by decompotions, by parts and by substitution. Integration of rational and irrational functions. Reducible Integrals to Integrals of rational functions.