Obiettivi Formativi

Fornire strumenti e contenuti da utilizzare nei corsi successivi di carattere chimico e fisico.

Metodi didattici

Il corso comprende lezioni teoriche accompagnate da esercizi alla lavagna eseguiti dall'insegnante e dagli studenti su tutti gli argomenti.

Prerequisiti

Acquisizione di un approccio metodologico corretto all'apprendimento di discipline scientifiche, basato sull'uso del linguaggio e del ragionamento matematico come strumento per l'interpretazione del mondo reale e non come bagaglio astratto di nozioni.

Verifiche dell'apprendimento

Esame scritto per verificare la capacità di applicare gli strumenti forniti dalla teoria alla la risoluzione di problemi numerici concreti. Esame orale per verificare la conoscenza delle definizioni e dei risultati di base della teoria.

Programma del Corso

PARTE I ELEMENTI DI BASE &1. Elementi di teoria degli insiemi. Simbolismo e diagrammi di Eulero-Venn. Sottoinsieme di un insieme. Insieme delle parti. Operazioni fra insiemi: unione, intersezione, differenza e differenza simmetrica. Insieme complementare. & 2. Relazioni fra insiemi. Prodotto cartesiano fra insiemi. Grafo di una relazione. Relazioni inverse. Relazioni di equivalenza. Classi di equivalenza. Relazioni d’ordine. & 3. Funzioni. Applicazione o funzione. Grafo di una funzione: dominio e codominio. Funzioni iniettive, surgettive e biunivoche. Funzione composta e sue proprietà. Funzione inversa. & 4. Il campo dei numeri reali. Assiomi dei numeri reali. Sottoinsiemi limitati di R. Retta reale estesa. Intervalli. Punto interno ad un insieme. Punto isolato di un insieme. Punto di accumulazione di un insieme. Numeri naturali. Numeri interi. Numeri razionali. Numeri irrazionali. PARTE II° FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE & 1. Funzioni reali di variabile reale. Concetto di funzione reale di variabile reale. Massimo e minimo di una funzione. Funzioni monotòne. Funzioni inverse. Funzioni elementari: funzione esponenziale; funzione logaritmica; funzioni trigonometriche e loro inverse. Funzione y = [f(x)] g(x). Ricerca del dominio di funzioni reali. & 2. Limiti di funzioni. Definizione di limite. Vari casi di definizione di limite. Teoremi fondamentali sui limiti di funzioni: unicità del limite, della permanenza del segno, di limitatezza locale, I e II teorema del confronto. Operazioni sui limiti. Forme indeterminate. Limiti laterali. Infinitesimi ed infiniti e loro confronto. & 3. Funzioni continue. La nozione di continuità per le funzioni reali di variabile reale. Proprietà delle funzioni continue. Teorema di Weierstrass (solo enunciato). Teorema di continuità delle funzioni composte. Teorema di continuità delle funzioni inverse (solo enunciato). Punti di discontinuità di una funzione e loro classificazione. Calcolo di alcuni limiti fondamentali. & 4. Derivate delle funzioni reali di variabile reale. Definizione di derivata. Significato geometrico e significato meccanico di derivata. Derivate di funzioni elementari. Regole di derivazione. Regola di derivazione delle funzioni composte e sue applicazioni. Regola di derivazione delle funzioni inverse e sue applicazioni. Derivate di ordine superiore. &5. Teoremi fondamentali del calcolo differenziale. Punti di massimo e di minimo relativo. Teorema di Fermat. Teorema di Rolle. Teorema di Lagrange (o del valor medio) e sue conseguenze. Funzioni crescenti e decrescenti. Teoremi di L’Hopital. Analisi dei punti stazionari. Convessità e concavità di una funzione in un punto. Punti di flesso. Asintoti. Studio del grafico di una funzione reale di variabile reale. &7. Integrali delle funzioni reali di variabile reale. Funzioni primitive. Integrale indefinito. Ricerca delle primitive di una funzione : integrazione per decomposizione in somma; integrazione per parti; integrazione per sostituzione. Integrale definito (secondo Riemann). Teoremi del calcolo integrale : Teorema della media. Teorema fondamentale del calcolo integrale (o di Torricelli). Calcolo di aree. &8 . Equazioni differenziali del I ordine. Forma normale e non normale di un’equazione differenziale . Integrazione diretta. Separazione delle variabili. Equazioni differenziali lineari omogenee e non. Omogenee. Equazione di Bernoulli. Problema di Cauchy.