Obiettivi Formativi

Fornire gli elementi di base dei metodi matematici per le applicazioni

Learning Goals

To provide the basic elements of mathematical methods for applications.

Metodi didattici

Lezioni frontali ed esercitazioni in aula.

Teaching Methods

Lectures and exercises.

Prerequisiti

Conoscenza su: numeri reali, successioni numeriche, funzioni reali di una e più variabili, calcolo differenziale e calcolo integrale.

Prerequisites

Knowledge on real numbers, real sequences, real functions of one and n variables, derivatives and Riemann integral.

Verifiche dell'apprendimento

L'esame consiste in una prova scritta ed in una prova orale.

Assessment

The exam consists of a written and an oral exam.

Programma del Corso

Gli spazi Euclidei. Il prodotto scalare e la norma. La distanza Euclida. Gli spazi metrici. Le distanze da punto a insieme e da insieme ad insieme. Gli intorni sferici. Gli insiemi aperti e gli insiemi chiusi. Interno chiusura e frontiera. Convergenza. Successioni estratte. Convergenza e insiemi chiusi. Completezza. Spazi metrici completi. Compattezza. Compattezza negli spazi euclidei. Applicazioni tra spazi metrici. Funzioni continue. Continuità e convergenza. Funzioni reali e funzioni vettoriali. Compattezza e uniforme continuità. Successioni di funzioni e continuità della funzione limite. Lo spazio delle funzioni continue e la convergenza. Funzioni Lipschitziane. Contrazioni. Il Teorema di Banach-Caccioppoli. Gli spazi normati. Gli spazi dotati di prodotto scalare. Gli spazi di Banach. Gli spazi di Hilbert. L'equazione integrale di Volterra. Il teorema di Schauder. Il teorema di Cauchy. Il teorema di Peano. La teoria della misura e dell'integrazione secondo Lebesgue. Il teorema di passaggio al limite sotto il segno d'integrale. Il calcolo delle variazioni. Il teorema dei metodi diretti. Il problema di Dirichlet.

Course Syllabus

Euclidean Spaces. Inner Product and Norm. Euclidean Distance. Metric Spaces. Distances from Points to Sets and from Sets to Sets. Balls. Open and Closed Sets Interior, Closure, and Boundary. Open Subsets of the Real Line. Convergence. Subsequences. Convergence and Closed Sets. Completeness. Cauchy Sequences. Complete Metric Spaces. Compactness. Compact Subspaces. Cluster Points, Convergence, Completeness. Compactness in Euclidean Spaces. Functions on Metric Spaces. Continuous Mappings. Continuity and Open Sets. Continuity and Convergence. Compositions. Real-Valued Functions. Rn-Valued Functions. Compactness and Uniform Continuity. Uniform Continuity. Sequences of Functions. Cauchy Criterion. Continuity of Limit Functions. Spaces of Continuous Functions. Convergence in C. Lipschitz Continuous Functions. Completeness. Functionals. Contraction Mappings Fixed Point Theorem (Banach-Caccioppoli). Systems of Linear Equations Maximum Norm. Manhattan Metric. Euclidean Metric. Integral Equations Volterra Equation.