Obiettivi Formativi

Lo scopo principale del corso è di introdurre alcuni strumenti e teorie matematiche tra quelli più usati nelle applicazioni fisico-ingegneristiche. Tra gli strumenti che si studieranno: trasformate di Fourier e di Laplace, polinomi ortogonali e funzioni speciali (con qualche applicazione significativa). A fondamento di questi, si forniranno elementi della teoria delle funzioni derivabili di variabile complessa ed elementi di analisi funzionale e reale.

Metodi didattici

Lezioni frontali ed esercitazioni. Prove di verifica periodiche

Prerequisiti

Conoscenze di base della geometria e dell'analisi matematica.

Verifiche dell'apprendimento

Sono previste delle prove di verifica durante il corso e una prova orale finale

Programma del Corso

Numeri complessi: Forma algebrica, trigonometrica, esponenziale. Proprieta del modulo e dell'argomento. Formule di De Moivre e delle radici n-esime. Funzioni elementari nel campo dei numeri complessi: esponenziale, seno e coseno, seno e coseno iperbolici, logaritmo, potenza. Successioni e serie nel campo dei numeri complessi. Serie di potenze: raggio di convergenza e proprieta, derivazione termine a termine. Funzioni analitiche: Olomora e condizioni di Cauchy-Riemann. Armonicita. Integrali di linea di funzioni di variabile complessa. Teorema e formule di Cauchy. Sviluppo in serie di Taylor. Sviluppo in serie di Laurent. Zeri delle funzioni analitiche e principi di identita. Classicazione delle singolarita isolate. Teorema di Liouville. Teorema fondamentale dell'algebra. Integrazione: Cenni sulla misura e sull'integrale di Lebesgue. Funzioni sommabili. Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale (s.d.). Integrali nel senso del valore principale secondo Cauchy. Spazi di funzioni sommabili. Residui: Teorema dei residui. Calcolo dei residui nei poli. Calcolo di integrali col metodo dei residui. Lemmi di Jordan. Scomposizione in fratti semplici. Segnali: Generalita sui segnali. Segnali periodici. Convoluzione. Trasformazione di Laplace. Denizione e dominio della trasformata bilatera di Laplace. Analiticita e comportamento all'innito. Esempi notevoli di trasformata di Laplace. Proprieta formali della trasformata di Laplace. Trasformata unilatera di Laplace e proprieta. Teoremi del valore iniziale e finale. Antitrasformata (s.d.). Uso della trasformata di Laplace nei modelli dierenziali lineari. Serie di Fourier; Cenni su spazi di Banach e di Hilbert. Energia di un segnale periodico. Polinomi trigonometrici. Serie di Fourier esponenziale e trigonometrica. Convergenza nel senso puntuale e nel senso dell'energia (s.d.). Trasformata di Fourier: Defizione di trasformata di Fourier. Proprieta formali della trasformata di Fourier. Antitrasformata.