Obiettivi Formativi

Lo scopo principale del corso è di introdurre alcuni strumenti e teorie matematiche tra quelli più usati nelle applicazioni fisico-ingegneristiche. Tra gli strumenti che si studieranno: trasformate di Fourier e di Laplace, polinomi ortogonali e funzioni speciali (con qualche applicazione significativa). A fondamento di questi, si forniranno elementi della teoria delle funzioni derivabili di variabile complessa ed elementi di analisi funzionale e reale.

Learning Goals

The main purpose of the course is to introduce some mathematical tools and theories among the most used in physical-engineering applications. Among the tools that will be studied: Fourier and Laplace transforms, orthogonal polynomials and special functions (with some meaningful application). At the basis of these, we will provide elements of the theory of derivable functions of complex variable and functional and real analysis.

Metodi didattici

Lezioni frontali ed esercitazioni. Prove di verifica periodiche

Teaching Methods

Lectures and exercises. Periodic tests.

Prerequisiti

Conoscenze di base della geometria e dell'analisi matematica.

Prerequisites

Some basic notions of geometry and analysis.

Verifiche dell'apprendimento

Sono previste delle prove di verifica durante il corso e una prova orale finale

Assessment

Examination tests are scheduled during the course and a final oral exam

Programma del Corso

Numeri complessi: Forma algebrica, trigonometrica, esponenziale. Proprieta del modulo e dell'argomento. Formule di De Moivre e delle radici n-esime. Funzioni elementari nel campo dei numeri complessi: esponenziale, seno e coseno, seno e coseno iperbolici, logaritmo, potenza. Successioni e serie nel campo dei numeri complessi. Serie di potenze: raggio di convergenza e proprieta, derivazione termine a termine. Funzioni analitiche: Olomora e condizioni di Cauchy-Riemann. Armonicita. Integrali di linea di funzioni di variabile complessa. Teorema e formule di Cauchy. Sviluppo in serie di Taylor. Sviluppo in serie di Laurent. Zeri delle funzioni analitiche e principi di identita. Classicazione delle singolarita isolate. Teorema di Liouville. Teorema fondamentale dell'algebra. Integrazione: Cenni sulla misura e sull'integrale di Lebesgue. Funzioni sommabili. Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale (s.d.). Integrali nel senso del valore principale secondo Cauchy. Spazi di funzioni sommabili. Residui: Teorema dei residui. Calcolo dei residui nei poli. Calcolo di integrali col metodo dei residui. Lemmi di Jordan. Scomposizione in fratti semplici. Segnali: Generalita sui segnali. Segnali periodici. Convoluzione. Trasformazione di Laplace. Denizione e dominio della trasformata bilatera di Laplace. Analiticita e comportamento all'innito. Esempi notevoli di trasformata di Laplace. Proprieta formali della trasformata di Laplace. Trasformata unilatera di Laplace e proprieta. Teoremi del valore iniziale e finale. Antitrasformata (s.d.). Uso della trasformata di Laplace nei modelli dierenziali lineari. Serie di Fourier; Cenni su spazi di Banach e di Hilbert. Energia di un segnale periodico. Polinomi trigonometrici. Serie di Fourier esponenziale e trigonometrica. Convergenza nel senso puntuale e nel senso dell'energia (s.d.). Trasformata di Fourier: Defizione di trasformata di Fourier. Proprieta formali della trasformata di Fourier. Antitrasformata.

Course Syllabus

Recall about complex numbers, Functions of a complex variable, Recall about power series, Integration for complex Functions, Analytic Functions, Zeros, Singular points, Laurent Expansions, Residues, Residue theorem and applications to the integration of real functions. Recall about vectorial spaces, Scalar product, Orthogonal and orthonormal vectors, Orthogonality of the trigonometric functions, Projections, Bessel inequality. Fourier Series, Convergence, Dirichlet criterion, Uniform convergence, Gibbs phenomena. Laplace Transform, Properies of the Laplace Transform, Convolution, Beta and Gamma functions, Inversion of the Laplace Tranform,. Applications to the differential equations. Fourier transform, Relation between the Fourier and the Laplace transforms. Properties of the Fourier Transform.