Obiettivi Formativi

Il corso si propone di studiare il moto e l’equilibrio di fondamentali modelli matematici che approssimano nell’ambito della teoria newtoniana i sistemi fisici, in uno schema logico-deduttivo. Il corso ha la finalità di insegnare a costruire un modello per lo studio dei fenomeni, ad analizzare il modello con mezzi matematici ed a tradurre poi i risultati nelle applicazioni.

Learning Goals

The course aims to study the motion and the equilibrium of fundamental mathematical models that approximate physical systems in the context of the Newtonian theory, in a logical and deductive scheme. The course aims to teach how to build a model for the study of phenomena, to analyze the model with mathematical means and then translate the results into applications.

Metodi didattici

Lezioni teoriche ed esercitazioni guidate.

Teaching Methods

Theoretical and practical lessons

Prerequisiti

Calcolo differenziale ed integrale. Elementi di geometria differenziale delle curve e delle superfici.

Prerequisites

Differential and integral calculus. Elements of differential geometry of curves and surfaces.

Verifiche dell'apprendimento

L’esame consta di una prova scritta e di una prova orale. La prima verte sulla risoluzione di alcuni problemi inerenti vari argomenti trattati nel corso, con particolare riferimento alla dinamica e statica dei sistemi olonomi. La seconda ha lo scopo di accertare la maturità raggiunta dallo studente nell’acquisizione dei vari concetti. Durante il corso vengono effettuate alcune prove di verifica che permettono, se superate, di essere esonerati dalla prova scritta in uno dei tre appelli della prima sessione d'esami.

Assessment

The exam consists of a written test and an oral exam. The first concerns the resolution of some problems concerning the various topics covered in the course, with particular reference to dynamic and static of holonomic systems. The second has the aim to ascertain the maturity reached by the student in the acquisition of the various concepts. During the course some verification tests are performed that allow, if passed, to be exempted from the written test in one of three appeals of the first session of exams.

Programma del Corso

Rappresentazione intrinseca ed estrinseca dei vettori liberi. Prodotto scalare, vettoriale, misto e doppio prodotto vettore. Simboli di Kronecker e di Levi-Civita. Cambiamenti di base. Elementi di geometria differenziale delle curve sghembe e delle superfici. Formule di Frenet. Sistemi di vettori applicati. Risultante e momento polare risultante. Momento assiale. Coppia. Riducibilità di un sistema di vettori applicati. Trinomio invariante. Asse centrale. Centro di un sistema di vettori applicati paralleli. Cinematica del punto. I concetti di spazio e tempo. Velocità ed accelerazione. Moti rettilinei uniformi e ad accelerazione costante. Moti piani. Moto circolare. Moto armonico. Moti centrali. Movimento rigido e corpo rigido. Velocità e accelerazione in un moto rigido. Formule di Poisson. Moto rotatorio. Moto elicoidale. Moto polare. Moto rigido piano. Caratteristiche del vettore velocità angolare. Angoli di Eulero. Teorema di Mozzi. Moti relativi. Principio di Galileo. Teorema di Coriolis. Moti rigidi relativi. Mutuo rotolamento di due superfici rigide. Curve polari. Vincoli e loro classificazione. Grado di libertà di un sistema materiale. Coordinate lagrangiane. Sistemi olonomi ed anolonomi. Spostamenti possibili, elementari e virtuali. Geometria e cinematica delle masse. Massa, momento statico e baricentro di un sistema materiale. Proprietà del baricentro. Momento di inerzia di un sistema materiale. Teorema di Huygens-Steiner. Variazione del momento di inerzia rispetto a rette concorrenti. Ellissoide d’inerzia. Matrice d’inerzia. Ricerca degli assi principali d’inerzia. Figure piane. Traslazione degli assi. Rotazione degli assi. Quantità di moto, momento angolare ed energia cinetica di un sistema materiale. Forze d’inerzia. Energia cinetica e momento angolare di un corpo rigido. Moto relativo al baricentro e teoremi di König. Classificazione delle forze. Definizione di lavoro elementare e virtuale. Forze conservative. Lavoro di una sollecitazione. Lavoro virtuale di una sollecitazione agente su un corpo rigido e su un sistema olonomo. I principi della dinamica. Dinamica del punto in un sistema di riferimento non inerziale. Dinamica terrestre. Punto materiale vincolato. Postulato delle reazioni vincolari. Leggi di Coulomb-Morin. Coni di attrito. Moto di un punto su una superficie fissa o una curva fissa. Equazioni intrinseche. Statica del punto libero e del punto vincolato ad una superficie o ad una curva. Equilibrio rispetto ad un riferimento non inerziale. Equazioni cardinali della dinamica. Teorema delle forze vive. Vincoli perfetti. Integrali primi. Dinamica del corpo rigido. Equazioni di Eulero. Moti alla Poinsot. Moto di un corpo rigido con un asse fisso e liscio ed il problema dell’equilibratura del rotore. Equazioni cardinali della statica. Principio dei lavori virtuali. Statica del corpo rigido. Equilibrio di un sistema olonomo. Elementi di Meccanica analitica. Principio di d’Alembert. Equazioni di Lagrange. Equazioni di Lagrange per sistemi conservativi. Integrali primi tipici di un sistema lagrangiano. Equazioni di Hamilton. Stabilità dell’equilibrio. Criterio di stabilità di Ljapunov. Teorema di Dirichlet. Studio del potenziale nelle configurazioni di equilibrio. Piccole oscillazioni di un sistema nell’intorno di una configurazione di equilibrio stabile. Analisi qualitativa del moto. Sistemi non autonomi ed autonomi. Spazio e piano delle fasi. Punti fissi e punti di equilibrio. Sistemi autonomi: equazione delle curve integrali. Curve di livello degli integrali primi. Andamento dell’energia potenziale e curve di livello dell’energia. Diagramma di fase del pendolo semplice. Sistemi autonomi non conservativi. Linearizzazione nell’intorno di un punto singolare.

Course Syllabus

Intrinsic representation of vectors. Vectorial algebra. Extrinsic representation of vectors. Scalar product. Projection of a vector on a line oriented. Vectorial product. Mixed product and double vectorial product. Kronecker's and Levi-Civita's symbols. Vectorial operations in indicial notation. Change of basis. Vectorial functions. Elements of differential geometry of curves and surfaces. Frenet formulas. Applied vectors. Systems of applied vectors. Resultant and polar moment resultant. Axial moment. Couple. Elementary operations. Reduction of an applied vector system. Central axis. Plane vector system. Parallel vector system. Kinematics of a point. The concepts of space and time. Velocity, acceleration and their properties. Uniform and rectilinear motions with constant acceleration. Plane motions. Circular motions. Harmonic motions. Central motions. Rigid motions and rigid bodies. Velocity and acceleration in a rigid motion. Poisson's formulas. Classification and Properties of rigid motions. Eulero’ angles. Mozzi’s Theorem. Relative motions. Velocity addition theorem. Relative derivation theorem. Coriolis theorem. Rigid motion relative. Mutual rolling of two surfaces. Polar trajectories in rigid motions. Constraints and their classification. Analytic description. Degree of freedom. Holonomic systems. Possible, elementary and virtual displacement. Geometry and Kinematics of the masses. Mass, static moment and center of mass for a material system. Properties of centre of mass. Inertial momentum. Huygens-Steiner theorem. Inertial momentum with respect to current axes. Inertial tensor and ellipsoid of inertia. Momentum, angular momentum and kinetic energy of a material system. Inertial forces. Kinetic energy and angular momentum of a rigid bodies. Motion relative to the center of gravity and König’s theorems. Classifications of forces. Definition of elementary and effective work. Conservative forces. Force systems and work of a system of a force system. Virtual work for rigid bodies and for holonomic systems. Principles of mechanics. Dynamics of a point with respect to a non-inertial frame. Terrestrial dynamics. Constraints. Coulomb-Morin’ laws. Cones of friction. Motion of a point on a fixed surface or on a fixed curve. Intrinsic equations. Statics of points. Equilibrium of a material point. Statics of a point constrained to a surface or on a curve. Equilibrium with respect to a non-inertial frame.Cardinal equations of dynamics. Energy theorem. Perfect constraints. First integrals. Rigid body dynamics. Euler equations. Poinsot’s motion. Motion of a rigid body with a fixed axis and dynamical balancing. Cardinal equations of statics. Virtual work’s principle. Statics of rigid bodies. Equilibrium stability. Equilibrium of a holonomic system. Elements of analytical mechanics. D'Alembert principle. Genesis of Lagrange equations. Lagrange equations for conservative systems. First integrals of a Lagrangian system. Hamilton equations. Stability of equilibrium. Ljapunov stability criterion. Asymptotic stability. Stability of the equilibrium of a mechanical system. Ljapunov theorem. Dirichlet's theorem. Study of the potential in equilibrium configurations. Small oscillations of a system in the neighborhood of a stable equilibrium configuration. Qualitative analysis of the motion. Non-autonomous systems and autonomous systems. Phase space. Systems with a degree of freedom: phase plan. Phase speed. Fixed points and points of balance. Autonomous systems: equation of integral curves. Conservation systems: energy level curves. Level curves of the first integrals. Potential energy trend and energy level curves. Phase diagram of the simple pendulum. Autonomous non-conservative systems. Linearization around a singular point.