Obiettivi Formativi

Si vuole dare una preparazione sui seguenti argomenti: elementi di reticoli e filtri. Spazi topologici e applicazioni continue. Operazioni sugli spazi topologici. Proprietà di separazione. I e II numerabilità. Compattezza. Connessione e connessione per archi. Teoria delle compattificazioni. Introduzione alle varietà topologiche.

Learning Goals

We give an approach on: lattices and filters. Topological spaces and continuous mappings. Operations on topological spaces. Separation axioms. First countable and second countable spaces. ompactification. Connected space. Teoria delle compattificazioni. An introduction to topological varieties.

Metodi didattici

Lezioni frontali

Teaching Methods

Lectures

Prerequisiti

Si richiedono i contenuti dei corsi di Geometria I e Geometria II.

Prerequisites

The contents of the courses of Geometry I and Geometry II are required.

Verifiche dell'apprendimento

Esame orale

Assessment

Oral test

Programma del Corso

Introduzione storico-intuitiva alla Topologia. Definizione di filtro in un insieme. Relazione di finezza tra filtri. Basi e sottobasi di un filtro. Caratterizzazione delle basi di un filtro. Ultrafiltri. Definizione di spazio topologico. Filtro degli intorni di un punto di unspazio toologico. Interno e chiusura di un sottoinsieme. Punti di accumulazione. Insieme derivato di un insieme. Sottospazi topologici. Definizione di funzione continua. Continuità locale e globale e loro equivalenza. Funzioni aperte e chiuse. Omeomorfismi. Somma di una famiglia di spazi topologici. Spazio quoziente. Proprietà ed esempi. Spazio prodotto. Assiomi di separazione: T0 (o di Kolmogorov) T1 (o di Fréchet), T2 (o di Hausdorff), T2(1/2) (o di Urysohn), T3 , Spazi regolari, spazi semiregolari, la semiregolarizzazione di uno spazio, T3(1/2) (o di Tychonoff o T3a), Spazi completamente regolari, T4, Spazi Normali, Lemma di Urysohn. Spazi metrizabili. Spazi primo e secondo numerabili. Spazi compatti. Caratterizzazioni in termini di filtri. Sottospazi compatti. Proprietà di spazi compatti Teorema di Tychonoff. Compattificazioni. Spazi connessi. Sottospazi connessi di uno spazio topologico. Caratterizzazioni degli spazi connessi. Operazioni tra spazi connessi. Teorema del punto fisso. Connessione per archi.

Course Syllabus

Introduction to topology. Filter ad filter base. Ultrafilter. Definition of topologial space. Neighborhood filter. Accumulation point. Continuous mapping. Omeomorphim. Open and closed mappings. Quotient space. Product space. Separation axioms: T0 (or Kolmogorov) T1 (or Fréchet), T2 (or Hausdorff), T2(1/2) (or Urysohn), T3 , Regular space, Semiregular space, T3(1/2) (or Tychonoff o T3a), T4, Normal space, Urysohn lemma. Compact space. Metrizable space. First countable and second countable spaces. Tychonoff theorem. Compactification. Connected space. Fixed point theorem. Arcwise connected space.