Obiettivi Formativi

Si vuole dare una preparazione sui seguenti argomenti: strutture algebriche, matrici, sistemi lineari, spazi vettoriali e geometria del piano e dello spazio.

Learning Goals

We give an approach on: algebric structures, matrix, linear equations systems, vector spaces and plane and space geometry.

Metodi didattici

Lezioni frontali ed esercitazioni

Teaching Methods

Lectures and tutorials

Prerequisiti

Elementi di logica del primo ordine e teoria ingenua degli insiemi.

Prerequisites

Elements of logic and set-theory

Verifiche dell'apprendimento

Esame scritto e orale

Assessment

Written and oral test

Programma del Corso

MODULO A: Vettori geometrici. Spazi vettoriali: Definizione.Vettori geometrici.Sottospazi vettoriali. Sistemi di generatori.Intersezione, somma, somma diretta e prodotto cartesiano di sottospazi. Spazio quoziente. Dipendenza ed indipendenza lineare. Sistema di generatori. Base. Teoremi sulla base. Cambiamento di base di uno spazio vettoriale. Dimensione di uno spazio vettoriale. Teoremi sulla dimensione. Matrici: Matrici su un campo K. Operazioni tra matrici. K(m,n). Algebra totale delle matrici quadrate. Gruppo lineare delle matrici quadrate. Gruppo ortogonale. Matrici ridotte. Metodo di riduzione di una matrice. Trasposta di una matrice. Determinante di una matrice. Rango di una matrice. Teorema di Kronecher. Primo e secondo teorema di Laplace. Teorema di Binet. Matrici invertibili e simili. Applicazioni lineari: Definizioni. Isomorfismo tra spazi vettoriali.Teoremi sulle applicazioni lineari.Immagine e nucleo di una applicazione lineare. Isomorfismo tra C(n) ed R(2n). Formula di Grassman. Applicazioni lineari e matrici (PARTE I) Sistemi lineari: Generalità. Teorema di Rouchè-Capelli. Teorema dei parametri liberi. Teorema delle equazioni indipendenti. Sistemi lineari omogenei. Teorema della base del nucleo. Definizione di rango come sottospazio vettoriale. Equivalenza delle due definizioni di rango. Teorema di Cramer. Geometria del piano (PARTE I): Equazioni cartesiane e parametriche di una retta. Intersezioni di due rette. Condizioni di parallelismo. Fasci di rette. Angolo di due rette orientate. Coseni direttori e parametri direttori di una retta. Equazione normale di una retta. Condizioni di perpendicolarità. Distanza di un punto da una retta. Trasformazioni di coordinate. Ampliamento complesso. Circonferenza. Geometria dello spazio: Equazione cartesiana di un piano. Intersezioni di due piani. Fasci di piani. Stella di piani. Coseni direttori e parametri direttori di una retta. Angolo di due rette orientate, di due piani, di una retta ed un piano. Condizioni di parallelismo e di perpendicolarità tra due rette, tra rette e piani, tra due piani. Distanza di un punto da un piano. Distanza tra due rette sghembe. Sfera. Circonferenza nello spazio. MODULO B: Autovalori ed autovettori di un endomorfismo e di una matrice. Polinomio caratteristico. Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore. Diagonalizzazione di un endomorfismo e di una matrice e di un endomorfismo.Criteri di diagonalizzazione. Triangolarizzazione di un endomorfismo e di una matrice. Criterio di triangolarizzabilità. Teorema di Hamilton-Caley. Applicazioni. Forma canonica di Jordan di una matrice. Forme bilineari simmetriche. Geometria del piano (PARTE II). Curve algebriche piane. Punti semplici e multipli. Punti doppi, nodali, cuspidali e isolati. Luoghi geometrici. Ellisse. Iperbole. Parabola. Coniche: Definizione. Coniche riducibili e irriducibili. Intersezioni di una conica con una retta. Invarianti ortogonali. Significato geometrico degli invarianti ortogonali. Centro ed assi si simmetria. Asintoti. Intersezione tra due coniche. Fasci di coniche. Fuochi di coniche e collegamento con rette isotrope. Polarità rispetto ad una conica. Teorema di reciprocità. Diametri, centro, assi e asintoti di una conica. Quadriche: Definizione. Quadriche riducibili, irriducibili, degeneri e non degeneri. Equazioni ridotte. Invarianti ortogonali. Significato geometrico della caratteristica della matrice associata alla quadrica. Sezioni piane di una quadrica. Classificazione affine delle quadriche non degeneri. Equazioni canoniche. Rette e piano tangente. Punti iperbolici, parabolici ed ellittici. Classificazione delle quadriche mediante la conica all’infinito: metodo delle esculsioni successive.

Course Syllabus

MODULE A: Vector spaces. Subspaces of vector spaces. Base of a vector spaces. Dimension theorem. Matrix. Kronecker theorem. Laplace theorems. Binet theorem. Inverse of a matrix. Linear mappings. Isomorphism. Kernel and image of a linear mapping.Grassmann formula. Linear mapping and matrix (PART I). Linear equations system. Rouchè-Capelli theorem. Omogeneous linear equations system. Cramen thoerem. Geometry of the plane and of the space (PART I). Affine plane and space and its properties. Euclidean plane and space and its properties. MODULE B: Autovalues and autovectors of endomorphisms and tatrix. Characteristic polynomial. Criteria of diagonizability and triangularization of endomorphisms and natrix. Hamilton-Caley theorem. Jordan theory.Bilinear mappings. Plane geometry (PART II): Algebraic curves. Ellipse. Hyperbole. Parabola. Conics. Quadrics.