Obiettivi Formativi

Lo scopo del corso è quello di fornire allo studente le conoscenze fondamentali, teoriche e di calcolo, relative al calcolo differenziale ed integrale per funzioni di più variabili, al calcolo integrale su curve e superfici, alla teoria degli spazi metrici, alle successioni e serie di funzioni, ed alle equazioni differenziali ordinarie.

Learning Goals

The aim of the course is to provide the student with the basic knowledge (both theoretical and practical) in: differential and integral calculus for functions of several variables, integral calculus on curves and surfaces, metric space theory, sequences of functions, series of functions, ordinary differential equations.

Metodi didattici

Lezioni ed esercitazioni frontali

Teaching Methods

Frontal lessons and exercises

Prerequisiti

Numeri reali, successioni reali e loro limiti, limiti di funzioni di una variabile, calcolo differenziale ed integrale per funzioni di una variabile, serie numeriche.

Prerequisites

Real numbers, real sequences and their limits, functions of one variable and their limits, differential and integral calculus for functions of one variable, number series.

Verifiche dell'apprendimento

Esame

Assessment

Examination

Programma del Corso

Successioni di funzioni. Convergenza puntuale ed uniforme. Teoremi sulla convergenza uniforme. Serie di funzioni: convergenza puntuale, uniforme, assoluta e totale. Teoremi sulla convergenza uniforme. Serie di potenze. Determinazione del raggio di convergenza e dell'intervallo di convergenza. Derivazione e integrazione delle serie di potenze. Serie di Taylor. Criteri di sviluppabilità in serie di Taylor. Sviluppo in serie di Taylor di alcune funzioni notevoli. Spazi metrici. Topologia di uno spazio metrico. Successioni negli spazi metrici. Funzioni continue. Limiti. Spazi metrici completi. Funzioni Lipschitziane. Punti fissi. Teorema delle contrazioni. Spazi metrici compatti. Funzioni uniformemente continue. Metriche equivalenti. Connessione e teoremi relativi. Funzioni di più variabili reali: limiti e continuità. Derivate parziali. Differenziabilità. Funzioni omogenee. Formula di Taylor. Massimi e minimi locali di funzioni di più variabili. Massimi e minimi assoluti di una funzione di più variabili. Funzioni implicite. Teorema del Dini. Integrali dipendenti da parametri. Derivate direzionali. Invertibilità locale e globale. Curve in R^2 e in R^3. Curve regolari e regolari a tratti. Vettore e versore tangente ad una curva. Versore normale. Equazione polare e cartesiana di una curva piana. Curve rettificabili. Curve orientate. Ascissa curvilinea. Integrale curvilineo di una funzione. Baricentro di una curva. Forme differenziali lineari e loro integrale curvilineo. Forme differenziali esatte. Forme differenziali chiuse. Integrabilità delle forme differenziali chiuse. Forme differenziali omogenee. Integrabilità secondo Riemann per una funzione reale su un dominio normale del piano. Integrabilità delle funzioni continue. Formule di riduzione per gli integrali doppi. Domini regolari del piano. Formule di Gauss-Green nel piano. Teorema della divergenza e Teorema di Stokes nel piano. Formula di integrazione per parti e calcolo dell'area di un dominio regolare. Cambiamento di variabili negli integrali doppi. Integrale di Riemann per funzioni di tre variabili. Formule di riduzione per gli integrali tripli. Cambiamento di variabili negli integrali tripli. Cenni sulla misura secondo Peano-Jordan in R^n e sull'integrale di Riemann in R^n. Integrale generalizzato. Superfici in R^3. Superfici regolari. Piano tangente e versore normale. Superfici equivalenti. Area di una superficie regolare. Superfici di rotazione. Superfici orientabili. Superfici regolari con bordo. Integrali superficiali. Flusso di un campo vettoriale. Operatori differenziali. Campi conservativi. Circuitazione di un campo vettoriale. Teorema di Stokes. Teorema della divergenza. Equazioni differenziali ordinarie (EDO) e problema di Cauchy. Teoremi di Peano e di Cauchy-Lipschitz per EDO di ordine uno e di ordine n. EDO lineari: teorema di esistenza e unicità. EDO lineari del primo ordine. Determinante Wronskiano. Integrale generale di un'EDO lineare omogenea e non omogenea. EDO lineari a coefficienti costanti. Metodo di Lagrange. Risoluzione di alcuni tipi notevoli di EDO del primo ordine e di ordine superiore al primo.

Course Syllabus

Sequences of functions. Pointwise and uniform convergence. Theorems on uniform convergence. Series of functions:pointwise, uniform, absolute and total convergence. Theorems on uniform convergence. Power series. Radius and interval of convergence. Differentiation and integration of power series. Taylor series. Taylor series expansions for several important functions. Metric spaces and their topology. Sequences and limits. Continuous functions. Complete metric spaces. Lipschitzian maps. Fixed points. The contractions theorem. Compact metric spaces. Uniformly continuous functions. Equivalent distances. Connectedness. Functions of several variables: limits and continuity. Derivatives, differentiation. Homogeneous functions. Taylor's formula. Local and absolute extrema for functions of several variables. Implicit functions. Dini's theorem. Directional derivatives. Local and global invertibility. Curves in R^2 and R^3. Regolar and generally regolar curves. Tangent vector and versor. Normal versor. Polar and Cartesian form. Rectifiable curves. Oriented curves. Curvilinear abscissa. Curvilinear integral of a real function. Center of gravity of a curve. Differential forms and their curvilinear integral. Exact differential forms. Closed differential forms and their integrability. Homogeneous diffetential forms. Riemann integrall for functions of two variables on a normal domain. Integrability of continuous functions. Reduction formulas. Regular domains in the plain. Theorem of Gauss-Grenn. Theorem of divergence and Stokes in the plain. Integration by parts in the plain and calculus of the area of a regular domain. Change of variables in double integrals. Riemann integral for functions of three variables. Reduction formula and change of variables in triple integrals. Hints on Peano-Jordan measure and Riemann integral in R^n and generalized integrals. Surfaces in R^3. Regular surfaces. Tangent plane and normal versor. Equivalent surfaces. Area of a regular surface. Surfaces of rotation. Orientable surfaces. Surfaced with the edge. Surface integrals. Flow of vector fields. Differential operators. Conservative fields. Circulation of a vector field. Divergence and Stokes' theorems. Ordinary differential equations (ODE) and Cauchy problem. Theorems of Peano and Cauchy-Lipschitz for first order and higher order ODE. Linear ODE: theorem of existence and unicity. Linear ODE of first order. General solution of linear ODE (homogeneous and non-homogeneous). Linear ODE with constant coefficients. Lagrange's method. Solution of several important types of first order and higher order ODE.