Obiettivi Formativi

Lo scopo del corso è quello di fornire allo studente le basi dell’Analisi Matematica e di sviluppare strumenti utili per un approccio scientifico ai problemi e ai fenomeni che egli incontrerà nel proseguimento dei suoi studi. Lo studente acquisirà le nozioni teoriche e le competenze applicative sul calcolo differenziale e integrale per funzioni di una variabile reale. Inoltre sarà in grado di risolvere problemi ed esercizi.

Learning Goals

The aim of the course is to provide students with the basic notions of Mathematical Analysis and to develop useful tools for a scientific approach to the problems and phenomena that he will encounter in the sequel of his studies. The student will acquire the theoretical knowledge and application skills on the differential and integral calculus for functions of one real variable. He will also be able to solve problems and exercises.

Metodi didattici

Lezioni frontali ed esercitazioni.

Teaching Methods

Frontal lessons and tutorials.

Prerequisiti

Risoluzione di equazioni e disequazioni. Elementi di geometria analitica e di trigonometria.

Prerequisites

Resolution of equations and inequalities. Elements of analytical geometry and trigonometry.

Verifiche dell'apprendimento

Prove in itinere, esame scritto e orale.

Assessment

Progress tests, written and oral examination.

Programma del Corso

Derivata di una funzione in un punto. Significato geometrico della derivata di una funzione in un punto. Relazione tra derivabilità e continuità di una funzione. Derivata destra e sinistra: punti angolosi e cuspidi. Derivate di funzioni elementari. Derivata della somma di due funzioni derivabili. Derivata del prodotto di due funzioni derivabili. Derivata del reciproco di una funzione derivabile. Derivata del rapporto di due funzioni derivabili. Derivata delle funzioni composte. Derivata della funzione inversa. Teorema di Rolle. Teorema di Cauchy. Teorema di Lagrange e suoi corollari. Punti di massimo e minimo locale. Teorema di Fermat. Teoremi di de l’Hopital. Derivate successive. Funzioni concave e convesse e loro caratterizzazioni. Flessi. Studio del grafico di una funzione di una variabile reale. Ricerca del campo di esistenza. Studio del segno. Ricerca delle eventuali intersezioni con gli assi. Calcolo dei limiti agli estremi del campo di esistenza. Studio della derivata prima per la ricerca dei massimi e dei minimi locali. Ricerca di eventuali punti angolosi e cuspidi. Studio della derivata seconda per la ricerca dei flessi. Determinazione degli asintoti. Grafico di funzioni. Ricerca dei massimi e minimi assoluti di una funzione. Integrale secondo Riemann di una funzione di una variabile reale. Somme superiori e somme inferiori. Lemma sulla monotonia delle somme integrali. Definizione di integrale di Riemann per una funzione limitata. Integrabilità delle funzioni continue. Integrabilità delle funzioni monotone. Integrabilità delle funzioni con un numero finito di discontinuità. Proprietà di additività, linearità e monotonia dell’integrale di Riemann. Teorema della media. Integrale definito e sue proprietà. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Primitive di funzioni e loro caratterizzazioni. Integrale indefinito e sue proprietà. Integrazione per parti. Integrazione per sostituzione. Integrali indefiniti immediati. Integrazione delle funzioni trigonometriche. Integrazione delle funzioni razionali. Integrazione delle funzioni irrazionali. Formula di Taylor. Premesse alla formula. Formula di Taylor. Forma di Lagrange del resto. Applicazioni. Definizione di integrale improprio di una funzione continua in un intervallo e non definita in almeno uno degli estremi. Definizione di integrale improprio di una funzione definita su un intervallo non limitato. Criteri di integrabili in senso improprio. Criterio del confronto definitivo. Confronti asintotici con funzioni notevoli.

Course Syllabus

Derivative of a function at a point. Geometric meaning of the derivative of a function at a point. Relationship between derivability and continuity of a function. Right and left derivative: angular points and cusps. Derivatives of elementary functions. Derivative of the sum of two derivable functions. Derivative of the product of two derivable functions. Derivative of the reciprocal of a derivable function. Derivative of the quotient of two derivable functions. Derivative of composite functions. Derivative of the inverse function. Rolle's theorem. Cauchy's theorem. Lagrange's theorem and its corollaries. Local maximum and minimum points. Fermat's theorem. De l'Hopital's theorems. Second derivatives. Concave and convex functions and their characterizations. Inflection points. Graph of a function of a real variable. Domain. Sign. Intersections with the axes. Behavior at the borders of the domain. Study of the first derivative for the research of local maxima and minima. Angular points and cusps. Study of the second derivative for the research of the inflection points. Asymptotes. Graph of functions. Absolute maxima and minima of a function. Riemann integral of a function of a real variable. Upper sums and lower sums. Lemma on the monotonicity of the integral sums. Definition of Riemann integral for a limited function. Integrability of continuous functions. Integrability of monotonic functions. Integrability of functions with a finite number of discontinuities. Properties of additivity, linearity and monotonicity of the Riemann integral. Theorem of mean value. Definite integral and its properties. Fundamental theorem of integral calculus. Primitives of functions and their characterizations. Indefinite integral and its properties. Integration by parts. Integration by substitution. Immediate indefinite integrals. Integration of trigonometric functions. Integration of rational functions. Integration of irrational functions. Taylor's formula. Premise to the formula. Taylor's formula. Lagrange form of the rest. Applications. Definition of improper integral of a continuous function not defined at least in one of the extremes. Definition of improper integral of a function over an unbounded interval. Criteria of improper integrability. Asymptotic comparison criterion. Asymptotic comparisons with test functions.