Obiettivi Formativi

Obiettivi del corso sono quelli di presentare in modo adeguatamente dettagliato le fondamentali nozioni di numero reale, di successione e serie numeriche e di funzione reale di una variabile reale. Tali nozioni sono strettamente legati al concetto di limite che riveste un ruolo centrale non solo nell'ambito delle funzioni di una variabile reale ma anche in contesti molto più generali. La definizione di limite di una successione e di una funzione e le conseguenti proprietà saranno, pertanto, ampiamente studiati e commentate. Similmente, verrà studiato un ulteriore fondamentale concetto, quello di continuità, legato principalmente alla nozione di funzione. Competenze che il corso di Analisi Matematica I mod A si propone di fornire sono: capacità di risoluzione di equazioni e disequazioni in R di vario tipo sfruttando le proprietà dei numeri reali; conoscenza delle funzioni elementari e delle loro proprietà e capacità di operare con esse; capacità di individuare proprietà di convergenza o divergenza di funzioni, successioni e serie numeriche nonchè di individuare le strategie risolutive per il calcolo di relativi limiti e somme; capacità di applicazione dei teoremi su limiti e continuità.

Learning Goals

The course allow students to acquire skills about: resolution of equations and inequalities in R of several kinds by using the properties of the real numbers, working with properties of elementary functions; detecting convergence and divergence properties of functions, sequences and series as well as detecting resolving strategies to evaluate related limits and sums; application of theorems on limits and continuity.

Metodi didattici

Lezioni frontali ed esercitazioni.

Teaching Methods

Lectures and tutorials.

Prerequisiti

Calcolo algebrico di base. Equazioni e disequazioni algebriche.

Prerequisites

Elementary algebra and calculus. Algebraic equations and inequalities.

Verifiche dell'apprendimento

Esame scritto ed orale.

Assessment

Written test and oral test.

Programma del Corso

Elementi di logica e di teoria degli insiemi. Relazioni tra insiemi. Funzioni tra insiemi: funzioni iniettive, suriettive e biettive. Funzioni invertibili. Composizione di funzioni. L’ insieme R dei numeri reali come campo totalmente ordinato archimedeo e completo . Classi separate e contigue e loro caratterizzazione. Maggiorante, minorante, estremo superiore, estremo inferiore, massimo e minimo di sottoinsiemi di R. L’insieme N dei numeri naturali. Principio di induzione. L’insieme Z dei numeri interi. L’insieme Q dei numeri razionali. Esistenza della radice n-esima. Potenze con esponente razionale e con esponente reale. Elementi di calcolo combinatorio. Binomio di Newton. L’insieme C dei numeri complessi come campo algebricamente chiuso. Forma algebrica e trigonometrica dei numeri complessi. Formula di De Moivre. Radici n-esime. Equazioni algebriche nel campo complesso. Funzioni reali di una variabile reale. Funzioni monotone. Funzioni elementari: funzione potenza, funzione valore assoluto, funzione esponenziale, funzione logaritmo, funzioni trigonometriche e loro inverse, funzioni iperboliche e loro inverse. Proprietà delle funzioni elementari. Equazioni e disequazioni in R. Successioni in R. Successioni convergenti e divergenti. Limite di una successione. Teorema di unicità del limite. Teorema della permanenza del segno. Teorema del confronto o dei carabinieri. Successioni monotone. Teorema sulle successioni monotone. Massimo e minimo limite di una successione. Successioni limitate. Successioni estratte. Teorema di Bolzano-Weierstrass. Successioni di Cauchy. Convergenza delle successioni di Cauchy. Limite della successione somma, differenza, prodotto e quoziente di due successioni. Forme indeterminate. Limiti notevoli. Il numero di Nepero. Teoremi di Cesaro. Successioni definite per ricorrenza. Algoritmo archimedeo per il calcolo di π sfruttando le successioni. Serie numeriche. Convergenza e divergenza di una serie. Somma di una serie. Serie notevoli: serie Mengoli, serie armonica, serie armonica generalizzata, serie geometrica, serie telescopiche. Condizione di Cauchy per la convergenza di una serie. Criteri di convergenza per serie a termini positivi (confronto, rapporto, radice, criterio di Raabe) . Teorema di Cauchy sulla convergenza di una serie. Serie segno alterno. Criterio di Leibniz. Serie assolutamente convergenti. Riordinamento di una serie. Teorema di Riemann-Dini. Topologia in R: intervalli, insiemi aperti, insiemi chiusi, insiemi compatti. Intorni di un punto. Punti di accumulazione, punti di aderenza e punti isolati di sottoinsiemi di R. Limiti di funzioni. Funzioni convergenti e divergenti. Unicità del limite. Limite di funzioni monotone. Caratterizzazione sequenziale del limite di una funzione. Limite della funzione somma, differenza, prodotto e quoziente di due funzioni. Limite della composizione di due funzioni. Limite destro e limite sinistro. Teoremi sui limiti di funzioni (confronto, permanenza del segno). Limiti notevoli. Cambiamento di variabile nel calcolo dei limiti. Funzioni continue. Discontinuità di prima e seconda specie. Discontinuità di terza specie o eliminabile. Teorema di Weierstrass. Teorema di esistenza degli zeri. Teorema dei valori intermedi. Criterio di invertibilità. Funzioni uniformemente continue. Funzioni Lipschitziane. Teorema di Heine-Cantor.

Course Syllabus

Elements of logic and set theory. Relations and functions. Injective, surjective and bijective functions. Invertible functions. Composition of functions. The set R of real numbers. Separated sets having a unique separation point and their characterization. Upper bound, lower bound, infimum, supremum, maximum and minimum of a subset of R. The set N of positive integers. Principle of Mathematical Induction. The set Z of integers. The set Q of rationals. Existence of the nth-root. Rational exponent power. Real exponent power. Elements of combinatorial analysis. Newton’s binomial. The set C of complex numbers. Algebraic and trigonometric forms of a complex number. De Moivre’s formula. nth-roots of a complex number. Algebraic equations in C. Real functions. Monotone functions. Elementary functions: power functions, absolute value function, exponential function, logaritmic function, trigonometric functions and their inverses, hyperbolic functions and their inverses. Properties of the elementary functions. Equations and inequalities in R. Sequences in R. Convergent and divergent sequences. Limit of a sequence. Uniqueness of the limit. Sign Permanece Theorem. Comparison theorems. Monotone sequences. Monotone sequences theorem. Limit inferior and Limit superior of a sequence. Bounded sequences. Subsequences. Bolzano-Weierstrass Theorem. Cauchy sequences. Convergence of the Cauchy sequences. Operations with limits: limits of the sum, difference, product and quotient of two sequences. Indeterminate forms. Notable special limits. The Nepero’s number. Cesaro Theorems. Sequences defined by recurrence. Archimedean algorithm for the calculation of π. Series of real numbers. Convergent and divergent series. Sum of a series. Notable special series: the Mengoli’s series, the harmonic series, the generalized harmonic series, the geometric series, telescopic series. Cauchy’s convergence criterion for series. Convergence Criteria for series with nonnegative terms (comparison test, ratio test, root test, Raabe’s test). Cauchy’s Theorem on the convergence of a series. Alternating series. Leibniz’s criterion for alternating series. Absolute convergent series. Rearrangement of a series. Riemann-Dini’s Theorem. Topology in R: intervals, open sets, closed sets, compact sets. Neighbourhoods. Accumulation points, adherent points and isolated points of subsets of R. Limits of functions. Convergent and divergent functions. Uniqueness of the limit. Limits of monotone functions. Sequential characterization of the limit of a function. Operations with limits: limit of the sum, difference, product and quotient of two functions. Limit of the composition of two functions. One sided limits. Further theorems about limits of functions (comparison theorem, sign permanence theorem). Indeterminate forms. Notable special limits of functions. Calculation of a limit by means of a change of variable. Continuous functions. Discontinuities of the first kind (jump discontinuities). Discontinuities of the second kind. Discontinuities of the third kind(removable discontinuities). Weierstrass Theorem. Existence of zeros Theorem. Intermediate Value Theorem. Invertibility criterion. Uniformly continuous functions. Lipschitz functions. Heine-Cantor’s Theorem.