Obiettivi Formativi

Il corso si prefigge di far acquisire padronanza nello studio di algoritmi numerici e della loro implementazione in ambiente di calcolo scientifico e maturare un’analisi critica dei risultati ottenuti.

Learning Goals

The course aims to gain mastery in the study of numerical algorithms and their implementation in scientific computing environment and mature critical analysis of the obtained results.

Metodi didattici

A tale scopo le lezioni del corso sono integrate da esercitazioni pratiche svolte in laboratorio, durante le quali, fornite le conoscenze del linguaggio di programmazione FORTRAN e degli ambienti di sviluppo per il calcolo scientifico (come MATLAB, Octave e Scilab) al fine di permettere la necessaria implementazione e sperimentazione di tutti gli algoritmi e i metodi numerici studiati durante il corso, viene, anche, stimolata e acquisita l’analisi critica dei risultati ottenuti.

Teaching Methods

The course lectures are supplemented by practical exercises in the laboratory, during which, the knowledge of the programming language FORTRAN and development environments for scientific computing (like Matlab, Octave and Scilab) are given, in order to allow for the necessary implementation and exsperimentation of all the algorithms and numerical methods studied during the course. It is also stimulated a critical analysis of the obtained results.

Prerequisiti

Tutti i corsi di matematica, algoritmi e programmazione.

Prerequisites

All courses in mathematics, algorithms and programming.

Verifiche dell'apprendimento

Le verifiche sull'apprendimento si basano su una serie di esercizi sugli argomenti del programma, divisi in gradi gruppi, che prevedono l'implementazione, anche con uso di Librerie Scientifiche (come IMSL) degli algoritmi e la verifica di tali metodi numerici su diversi insiemi di dati. La soglia di sufficienza per il giudizio di laboratorio si ottiene svolgendo almeno un esercizio, per ciascun gruppo, comprensivo dell’analisi dei risultati ottenuti da almeno due differenti insiemi di dati, In caso di insufficienza sarà richiesta una ulteriore prova di laboratorio su esercizio specifico, che dovrà essere svolta prima dell’esame finale. In tal modo: 1) si accertano le conoscenze acquisite dagli studenti su ogni singolo argomento del programma; 2) si verifica la capacità degli studenti di applicare a particolari problemi la teoria studiata. L’esame finale è orale.

Assessment

The assessment method involves the verification of exercises on the topics of the program, which require the implementation of the algorithms and the evaluation of the performance on different sets of data. The final exam is oral.

Programma del Corso

NUMERI FINITI. Teorema di rappresentazione dei numeri reali. Numeri finiti: l’insieme dei numeri di macchina. Precisione di macchina. Analisi degli errori. Stabilità degli algoritmi. Condizionamento dei problemi. Indici di condizionamento. Errori nelle operazioni aritmetiche con numeri finiti. SISTEMI LINEARI: METODI DIRETTI. Matrici e vettori. Operazioni sulle matrici. Matrice inversa di una matrice quadrata. Norme vettoriali e matriciali. Sistemi lineari. Risoluzione di sistemi lineari normali non singolari. Fattorizzazlone di una matrice nel prodotto di due matrici triangolari. Il metodo di Gauss per risolvere un sistema lineare normale. Complessità computazionale dell'algoritmo di fattorizzazione di Gauss. Stabilità degli algoritmi di fattorizzazione. Stima dell'indice di condizionamento di una matrice (dimostrazione). Inversione di una matrice con il metodo di Gauss-Jordan. Matrici simmetriche definite positive. Algoritmo di Cholesky. Matrici sparse. Risoluzione di un sistema tridiagonale. SISTEMI LINEARI: METODI ITERATIVI. Metodi iterativi per la risoluzione di sistemi lineari normali non singolari. Metodo di Jacobi. Metodo di Gauss-Seidel. Velocità di convergenza per i metodi iterativi. Condizioni di convergenza. Condizioni sufficienti per la convergenza di un metodo iterativo (dimostrazione). INTERPOLAZIONE ED APPROSSIMAZIONE DEI DATI. Formulazione del problema della ricostruzione di dati sperimentali. Polinomio di interpolazione: formula di Lagrange. Differenze divise di una funzione. Polinomio di interpolazione: formula di Newton. Complessitaà computazionale degli algoritmi di interpolazione polinomiale. Formula dell’errore nell’interpolazione polinomiale (dimostrazione). Il fenomeno di Runge. Approssimazionepolinomiale ai minimi quadrati e la sua applicazione al problema del denoising di un segnale. INTEGRAZIONE NUMERICA. Formule di quadratura: formule di Newton-Cotes: formule dei trapezi e di Cavalieri-Simpson. Formule composite di Newton-Cotes. Errore nelle formule di Newton-Cotes.

Course Syllabus

FINITE NUMBERS. Theorem of representation of real numbers. The set of floating-point numbers. Floating-point relative accuracy. Error analysis. Stability of algorithms. Condition number. Errors in arithmetic operations with floating-point numbers. LINEAR SYSTEMS: METHODS DIRECT. Matrices and vectors. Matrix operations. Inverse of a square matrix. Norms of vectors and matrices. Linear systems. Factorization of a matrix. Gauss method. Computational cost of the algorithm of Gauss factorization. Stability of the factorization algorithms. Condition number of a matrix. Inversion of a matrix with the Gauss-Jordan method. Symmetric positive definite matrices. Cholesky algorithm. Sparse matrices. Method for three-diagonal systems. LINEAR SYSTEMS: ITERATIVE METHODS. Iterative methods for solving linear systems. Jacobi method. Gauss-Seidel method. Convergence for iterative methods. INTERPOLATION AND APPROXIMATION OF DATA. Formulation of the problem of reconstruction of experimental data. Polynomial interpolation: Lagrange's formula. Divided differences of a function. Polynomial Interpolation: Newton's formula. Computational cost of algorithms for polynomial interpolation. Runge's phenomenon. Polynomial interpolation error formula. The least squares polynomial approximation and its application to signal denoising. NUMERICAL INTEGRATION. Quadrature formulas: Newton–Cotes formulae. Trapezoid rule. Cavalieri-Simpson's rule. Composite Newton-Cotes rules. Error in Newton-Cotes formulae.