Obiettivi Formativi

Il corso si propone di fornire le nozioni fondamentali di cinematica, dinamica e statica dei sistemi materiali ed, in particolare, del corpo rigido necessarie per affrontare i successivi corsi caratterizzanti previsti dal piano di studi.

Learning Goals

The aim of the course is to provide the fundamental notions about kinematics, dynamics and statics of material systems and, in particular, of rigid bodies which are needed for the subsequent engineering-related courses.

Metodi didattici

La metodologia didattica prevede attività di lezione frontale ed esercitazioni.

Teaching Methods

The didactic methodology consists of frontal lectures and some practical exercitations.

Prerequisiti

Il corso richiede la conoscenza preliminare di trigonometria, geometria, calcolo vettoriale, differenziale ed integrale.

Prerequisites

The course requires the preliminary knowledge of trigonometry, geometry, vector calculus, differential and integral calculus.

Verifiche dell'apprendimento

L'esame finale consiste in una prova scritta ed una prova orale, entrambe concernenti l'intero programma svolto. La prova orale è obbligatoria.

Assessment

The final examination consists of a written and oral exam both concerning the entire program. The oral exam is mandatory.

Programma del Corso

Richiami di calcolo vettoriale e matriciale Definizioni: vettore applicato, sistema di vettori applicati, risultante.- Momento polare- Momento polare risultante-Momento assiale- Teorema di Varignon- Legge di variazione del momento polare risultante al variare del polo- Invariante- Asse centrale- Coppia- Sistemi equivalenti. Operazioni elementari-Teorema di Poisson-Sistema piano- Sistema di vettori applicati paralleli- Centro di un sistema di vettori applicati paralleli- Notazione indiciale: falso monomio, simboli di Kronecker e di Levi-Civita- Operazioni tra vettori con l'uso della notazione indiciale-Cambiamento di base- Matrice di rotazione. Cinematica del punto e dei sistemi rigidi Elementi di geometria differenziale delle curve: versore tangente, normale principale, binormale, triedro di Frenet- Cinematica del punto: velocità, accelerazione, spostamenti elementari ed effettivi- Moti piani- Moto rigido- Angoli di Eulero- Formule di Poisson- Velocità angolare- Formula fondamentale della cinematica rigida- Legge di distribuzione delle accelerazioni e degli spostamenti elementari- Classificazione dei moti rigidi e loro proprietà caratteristiche- Atto di moto rigido-Teorema di Mozzi- Moti rigidi piani- Curve polari: base e rulletta. Cinematica relativa Teorema di derivazione relativa- Principio dei moti relativi- Teorema di Coriolis- Legge di composizione delle velocità angolari- Particolari moti di trascinamento- Mutuo rotolamento e puro rotolamento. Vincoli Vincoli e loro classificazione- Rappresentazione analitica- Sistemi olonomi- Grado di libertà di un sistema olonomo e parametri lagrangiani- Spostamenti possibili e virtuali. Dinamica del punto materiale Principi fondamentali della Dinamica- Classificazione delle forze- Forze conservative- Potenziale e energia potenziale- Forze fittizie- Teorema delle forze vive- Integrali primi del moto- Postulato delle reazioni vincolari- Leggi di Coulomb-Morin- Moto di un punto materiale su una superficie e su una curva- Pendolo semplice. Geometria e cinematica delle masse Massa- Baricentro di un sistema particellare e continuo- Proprietà di ubicazione del baricentro- Momento d’inerzia- Teorema di Steiner-Huygens- Legge di variazione del momento d’inerzia rispetto a rette concorrenti- Ellissoide e matrice d’inerzia- Quantità di moto, momento della quantità di moto ed energia cinetica- Energia cinetica e momento della quantità di moto di un corpo rigido con un punto fisso o con un asse fisso. Terna baricentrica- Teoremi di Koenig. Dinamica dei sistemi materiali Sistemi di forze e lavoro di un sistema di forze - Lavoro di una sollecitazione agente su un corpo rigido e su un sistema olonomo- Teorema delle forza vive- Vincoli perfetti o ideali- Equazioni Cardinali della Dinamica- Moto di un corpo rigido con un asse fisso- Equazioni di Eulero- Moti alla Poinsot. Statica del punto materiale Equilibrio di un punto materiale- Attrito Statico- Cono di attrito statico- Equilibrio di un punto materiale vincolato su una superficie o su una curva. Statica dei sistemi materiali Equazioni Cardinali della Statica- Principio dei lavori virtuali- Principio di stazionarietà del potenziale- Principio di Torricelli- Statica del corpo rigido con un asse fisso o con un punto fisso- Equilibrio dei solidi appoggiati su un piano orizzontale liscio-. Stabilità delle configurazioni di equilibrio: teorema di Dirichlet.

Course Syllabus

Outline of vector and matrix calculus Applied vectors- Resultant of a vector system- Polar moment and axial moment- Varignon’s theorem- Central axis- Couple- Elementary operations- Reduction of an applied vector system- Poisson’s theorem- Plane vector system- Parallel vector system- Index notation- Kronecker and Levi-Civita symbols- Change of basis- Rotation matrix. Point and rigid systems kinematics Outlines of differential geometry of curves: tangent, normal and binormal unit vectors- Frenet's frame- Kinematics description of a particle motion: velocity, acceleration, elementary and effective displacement- Plane motions- Rigid motion- Euler angles- Poisson's formulas- Angular velocity- Laws of velocity, acceleration and elementary displacement distributions- Classification and properties of rigid motions- Motion acts- Mozzi's theorem- Rigid plane motions- Polar trajectories. Relative kinematics Relative derivation theorem- Velocity addition theorem- Coriolis theorem- Angular velocity addition theorem- Mutual rolling of two curves and two surfaces- Pure rolling motion. Constraints Constraints and their classification- Analytical description- Holonomic systems- Degrees of freedom and lagrangian coordinates-Possible and virtual displacements. Point Dynamics Principles of dynamics- Forces and their classification- Conservative forces and potential- Fictitious forces- Analytical problems of point dynamics- First integrals of motion equation- Constraining reaction postulate- Point moving on a fixed surface or on a fixed curve- Simple pendulum. Geometry and Kinematics of masses Mass- Barycentre of a discrete or continuous system- Location properties of barycentre- Moment of inertia- Huygens- Steiner theorem- Moment of inertia with respect to concurrent axes- Inertial matrix and ellipsoid of inertia- Momentum- Angular momentum- Kinetic energy –Koenig's theorems. Dynamics of material systems Force systems- Work of a force system – Work for rigid bodies and for holonomic systems- Ideal constraints- Cardinal equations of dynamics- Motion of a rigid body with a fixed axis and dynamical balancing- Euler's equations- Poinsot's motion. Statics of the point Equilibrium of a material point- Friction- Equilibrium with respect to a non-inertial frame- Equations for a point constrained on a surface or on a curve. Statics of material systems Cardinal equations of statics- Virtual work's principle- Equilibrium of a holonomic and conservative system- Equilibrium of rigid bodies- Problem of the heavy rigid body on a horizontal plane- Dirichlet theorem for stability.