Obiettivi Formativi

Lo scopo fondamentale del corso è quello di fornire allo studente le basi dell’Analisi Matematica e sviluppare strumenti utili per un approccio scientifico ai problemi e ai fenomeni che egli incontrerà nel proseguimento dei suoi studi. Lo studente dovrà aver acquisito le principali conoscenze teoriche e competenze applicative sul calcolo differenziale e integrale per funzioni a una variabile. Inoltre dovrà essere in grado di risolvere problemi ed esercizi.

Learning Goals

The aim of the course is to provide the student with the fundamental and basic knowledge (both theoretical and practical) of the Mathematical Analysis: real number, limits, continuity, sequences and series, differential calculus and integration theory

Metodi didattici

Lezioni frontali ed esercitazioni.

Teaching Methods

Lectures and tutorials.

Prerequisiti

Risoluzione di equazioni e disequazioni. Elementi di geometria analitica. Trigonometria.

Prerequisites

Euclidean geometry. Equations: Rational, of higher order and radical, with absolute value, exponential and logarithmic. Trigonometry: radian, identity and fundamental relations, graphs of sine, cosine and tangent function; trigonometric and inverse trigonometric equations.

Verifiche dell'apprendimento

Prove in itinere, esame scritto e orale

Assessment

Progress tests, written and oral exam

Programma del Corso

Numeri reali: Insieme R. R è un campo ordinato archimedeo. Sottoinsiemi limitati di R. Maggioranti, minoranti, massimi e minimi. Estremi superiori ed estremi inferiori di un insieme. Caratterizzazione delle classi separate e contigue. Elementi di calcolo combinatorio, binomio di Newton. Forma algebrica, trigonometrica e esponenziale dei numeri complessi. Formula di De Moivre, radici n-esime. Equazioni algebriche nel campo complesso. Funzioni di una variabile reale: Funzioni monotone. Funzioni composta ed inversa. Grafici delle principali funzioni elementari con relative proprietà (lineare, polinomiale, valore assoluto, esponenziale, logaritmica, trigonometrica, trigonometrica inversa, iperbolica e iperbolica inversa). Disequazioni e campi di esistenza Successioni numeriche: Concetto di successione. Successioni limitate e monotone. Massimo e minimo limite per le successioni. Concetto di limite di successione. Successioni convergenti, divergenti e non regolari. Teorema di unicità del limite. Successioni limitate e principali teoremi. Successioni divergenti e principali teoremi. Teoremi di somma, differenza, prodotto e quoziente dei limiti. Forme indeterminate. Algoritmo archimedeo per il calcolo di π sfruttando le successioni. Teorema della permanenza del segno. Teorema del confronto o dei carabinieri. Limiti notevoli. Il numero di Nepero. Criterio del rapporto. Successioni estratte. Teorema di Bolzano-Weierstrass. Successioni di Cauchy e criterio di convergenza. Successioni definite per ricorrenza. Limiti di funzioni – Funzioni continue: Punti di accumulazione e punti isolati in R(proprietà relative). Definizione di limite. Legame tra limiti di funzioni e limiti di successioni. Teoremi di somma, differenza, prodotto e quoziente dei limiti. Limite destro, limite sinistro e loro proprietà. Limiti notevoli. Limite delle funzioni composte. Funzioni continue. Discontinuità. Teorema della permanenza del segno. Teorema dell’esistenza degli zeri. Teorema di Bolzano. Teorema di Weierstrass. Criteri di invertibilità. Limite delle funzioni monotone. Funzioni uniformemente continue. Teorema di Heine-Cantor. Funzioni Lipschitziane. Derivate: Significato analitico e geometrico. Derivata destra e sinistra. Teorema di derivabilità e regole di derivazione. Derivate delle funzioni elementari. Derivate delle funzioni composte e inverse. Applicazioni delle derivate: Massimo e minimo relativi. Teorema di: Fermat, Rolle Lagrange e Cauchy. Teorema di de L’Hospital. Crescenza e decrescenza. Concavità e convessità. Studio del grafico di una funzione y=f(x) Calcolo differenziale: Differenziabilità. Polinomio di Taylor. Formula di Taylor con resto di Peano e di Lagrange. Sviluppi delle funzioni elementari. Applicazioni al calcolo dei limiti di funzioni. Integrale di Riemann: Definizioni. Somme inferiori e somme superiori. Condizione di integrabilità. Teoremi sulle funzioni integrabili. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Applicazioni degli integrali al calcolo di aree. Integrali generalizzati. Criteri di convergenza per integrali generalizzati. Integrali indefiniti: Definizioni e proprietà. Regole di integrazione: decomposizione, per parti, per sostituzione. Integrazione di funzioni razionali, irrazionali. Integrali riducibili ad integrali di funzioni razionali. Serie numeriche: Definizioni. Somma di una serie. Serie di Mengoli, armonica generalizzata, geometrica. Condizione di Cauchy per la convergenza di una serie. Serie a termini positivi e criteri (confronto, radice, rapporto). Teorema di Cauchy. Serie assolutamente convergenti. Serie segno alterno. Criterio di Leibniz.

Course Syllabus

Preliminary: Rational and radical inequalities, with absolute value, exponential and logarithmic inequalities. The real field: Sets: N, Z, Q, R. Principle of Mathematical induction. Max, Min, Sup and Inf. The Completeness axiom. Some properties of Sup and Inf. The Archimedean properties of the real numbers system. Unbounded sets. Elements of combinatorial calculus, Newton binomial theorem. Real functions: Relations and functions. One-to-one functions and inverses. Composite functions. Elementary functions and their graphs. Real sequences: Convergent sequences. Subsequences. Cauchy sequences. Monotonic sequences. Algebra of sequences limits. Theorems. The number e. The Bolzano-Weierstrass theorem. Limits and Continuity: Accumulation points. Limits of functions. Continuous functions. Discontinuities. Monotonic functions. Relation between sequences limits and function limits. Bolzano’s Theorem. Intermediate values Theorem for continuous functions. Weierstrass’ Theorem. Derivatives: Definition of derivative geometric meaning. Derivatives and continuity. Algebra of derivatives. The chain rule. One-sided derivatives and infinite derivatives. Zero derivative and local extrema. Rolle, Fermat, Lagrange and Cauchy Theorems. Mean-value Theorem. L’Hopital’s Rule. Applications of derivatives: monotone functions and convex functions. Study of the function’s graph (rational, with absolute value, exponential and logarithmic functions). Trigonometric and inverse trigonometric inequalities. Graphs of functions: radical, Trigonometric and inverse trigonometric, hyperbolic and inverse hyperbolic functions. Appendix to real functions: Epigraphs of a function. Characterization of convex functions. Continuity on convex functions. Appendix to real sequences: Recurrence Relations. Fibonacci sequence. Upper and lower limits for sequences. Real series: Series. Series of nonnegative terms. The root and ratio tests. Geometric series. Summation by parts. Absolute convergence. Addition and multiplication of series. Leibnitz’s theorem. Differential calculus: Derivatives of higher order. Taylor’s Theorem. Applications. Indefinite integral: Primitive functions. Definition of indefinite integral and properties. Integration rules. Fundamental Theorem and Formulas of integral calculus . The Riemann- Stieltjes integral: Definition of integral: upper and lower integrals. Properties. Riemann’s Condition of integrability. Integrability of continuous functions. Cantor’s Theorem. Mean-value Theorem of Riemann integrals. Applications of integrals: calculus area and volume. Improper integrals. Convergence of the improper integrals.