Programma del Corso
Algebra lineare:
Spazi vettoriali e loro proprietà. Generalità sulle matrici e operazioni tra matrici e vettori. Matrici diagonali, triangolari, simmetriche, antisimmetriche e loro proprietà. Rango di una matrice. Trasformazioni elementari. Metodo di eliminazione di Gauss. Sistemi lineari. Teorema di Rouche’ Capelli. Risoluzione di sistemi lineari omogenei. Determinante, minori e complementi algebrici di una matrice. Autovalori e autovettori. Teorema di Laplace. Teorema di Binet. Matrici invertibili e proprietà. Calcolo della matrice inversa. Teorema di Cramer.
Il campo dei numeri reali:
Proprietà dei numeri reali. L’asse reale. Disequazioni
Funzioni reali di una variale reale: Dominio, codominio. Grafico di una funzione. Operazioni tra funzioni. Funzioni iniettive, suriettive, invertibili. Funzioni pari, dispari. Funzioni monotone. Punti di massimo, di minimo relativo o assoluto.
Limiti e continuità per le funzioni: Limite finito, infinito. Operazioni sui limiti. Teorema di unicità del limite. Teoremi di confronto. Limiti di funzioni monotone. Limiti notevoli. Continuità in un punto. Continuità in un intervallo. Proprietà delle funzioni continue in un intervallo. Funzioni trigonometriche e loro inverse. Funzione esponenziale e funzione logaritmo.
Differenziabilità: Derivata e sua interpretazione geometrica. Punti angolosi. Derivate delle funzioni elementari. Regole di derivazione e derivate delle funzioni composte. Derivate successive. Differenziale. Proprietà delle funzioni derivabili in intervalli. Concavità, convessità e punti di flesso. Ricerca dei punti di massimo e/o minimo relativo o di flesso. Infinitesimi, infiniti: confronto, ordine, parte principale. Formula di Taylor. Forme indeterminate e teoremi de l’Hôpital. Asintoti.
Calcolo integrale: Integrale definito. Funzione integrale. Teorema della media. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Applicazioni al calcolo delle aree. Integrale indefinito. Integrali elementari. Metodi di integrazione per sostituzione e per parti. Integrazione delle funzioni razionali fratte..
Integrali impropri di una variabile reale. Integrali impropri su intervalli limitati, condizioni di integrabilità. Integrali impropri su intervalli infiniti, condizioni di integrabilità.Course Syllabus
Linear Algebra:
Vector spaces and their properties. Matrices, properties and matricial operations. Invertible matrices. Gaussian elimination. Elementary matrices. Symmetric matrices. Determinants. Determinant properties.The inverse of a matrix. Systems of linear equations. Rouche-Capelli theorem. Eigenvalues and eigenvectors. Cramer's rule.
The field of real numbers: properties of real numbers. The real axis. Inequalities. Real functins: Domain, codomain. Graph of a function. Operations between functions. Injective, surjective and invertible functions. Functions even, odd. Monotone functions. Maximum points, minimum relative or absolute. Limits and continuity for functions: finite and infinite limit, operations of limits. Theorem of uniqueness of the limit. Theorems of confront. Limit of Monotone functions. Notable limits. Continuity in one point. Continuity in a range. Properties of continuous functions in an interval. Trigonometric functions and their inverses. Exponential and logarithmic functions. Differentiability: Derivative and its geometrical interpretation. Derivatives of elementary functions. Differentiation rules and derivatives of composite functions. Derivatives of k-order. Differential. Properties of functions differentiable in intervals. Concavity, convexity and flexes points. Search of the points of maximum and/or relative minimum and flexes. Infinitesimal, infinite. Indeterminate forms and theorems de l'Hôpital. Asymptotes. Integral Calculus: Definite integral, integral function. Theorem of the Media, fundamental theorem of calculus. Applications to the calculation of areas. Indefinite Integral, elementary integrals. Methods of integration by substitution and by parts. Integration of rational functions. Improper integrals of one variable, improper integrals on bounded intervals, integrability conditions. improper integrals on infinite intervals of integration conditions.