Obiettivi Formativi

Fornire conoscenze su: strumenti dell’Analisi Matematica peculiarmente finalizzati e proposti in forma adeguata allo studio dei fenomeni fisici. In particolare: funzioni di più variabili – derivate parziali – integrali multipli – integrali di linea e di superficie – successioni e serie di funzioni – sviluppi in serie.

Metodi didattici

lezioni frontali

Prerequisiti

Un fondamentale prerequisito è la conoscenza dei contenuti del corso di Matematica I.

Verifiche dell'apprendimento

prova scritta e orale

Programma del Corso

CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI Elementi di topologia in R^n: distanza tra due punti, altre metriche in R^n, intorno di un punto, punto esterno, punto interno, punto di frontiera, punto di accumulazione. Insiemi aperti e insiemi chiusi, insiemi limitati, insiemi connessi, insiemi compatti. Definizione di limite di una funzione. Condizione necessaria per l'esistenza del limite . Definizione di funzione continua. Teoremi sulle funzioni continue. Derivate parziali di una funzione, teorema di Schwarz. Differenziabilità di una funzione. Condizione necessaria di differenziabilità . Differenziale di una funzione. Relazione tra differenziabilità e continuità. Relazione tra differenziabilità e derivabilità . Funzione composta, teorema sull'esistenza della derivata della funzione composta. Derivata direzionale di una funzione, teorema sull'esistenza delle derivate direzionali. Applicazioni fisiche del calcolo differenziale. Teorema del differenziale totale. Teorema di Lagrange. Teorema sulle funzioni a gradiente nullo. ESTREMI RELATIVI ED ASSOLUTI DI UNA FUNZIONE DI PIÙ VARIABILI Cenni sulle forme quadratiche in R^{n}: forme quadratiche semidefinite positive, negative, forme quadratiche definite positive, negative. Estremi relativi di una funzione: definizione, punti di estremo relativo proprio, condizione necessaria del primo ordine, condizione necessaria del secondo ordine, condizione sufficiente del secondo ordine per i punti di estremo relativo proprio. Ricerca degli estremi relativi di una funzione. Ricerca degli estremi assoluti di una funzione. FUNZIONI DEFINITE IMPLICITAMENTE Funzioni definite implicitamente da un'equazione in due variabili. Teorema del Dini (esistenza ed unicità della funzione implicita), continuità della funzione implicita, derivabilità della funzione implicita. Estremi vincolati. Teorema sui moltiplicatori di Lagrange. CURVE REGOLARI E INTEGRALI CURVILINEI DI PRIMA SPECIE Rappresentazioni parametriche equivalenti, curve regolari in R^n, traccia di una curva, curve chiuse, curve semplici, versore tangente, versore normale. Lunghezza di una curva. Ascissa curvilinea. Integrale curvilineo di una funzione. Baricentro di una curva regolare. FORME DIFFERENZIALI LINEARI E INTEGRALI CURVILINEI DI SECONDA SPECIE Funzioni lineari su R^n. Forme differenziali lineari in R^n. Integrale di una forma differenziale . Forme differenziali esatte. Primitive di una forma differenziale esatta. Condizione necessaria di esattezza. Criterio di esattezza.Forme differenziali chiuse. Relazione tra forme differenziali chiuse e forme differenziali esatte. Forme differenziali chiuse su insiemi aperti semplicemente connessi. Significato fisico delle forme differenziali lineari in R^3. CALCOLO INTEGRALE PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI Integrale doppio. Formule di riduzione. Cambiamento di variabili in un integrale doppio: coordinate polari. Baricentro di un dominio. Applicazione del teorema di Guldino per il calcolo del volume di un solido di rotazione. Integrale triplo. Integrazione per fili e per strati.Cambiamento di variabili in un integrale triplo: coordinate sferiche e coordinate cilindriche. Formule di Gauss-Green, formule per il calcolo dell'area di un dominio regolare. SUPERFICI E INTEGRALI DI SUPERFICIE Rappresentazione parametrica di una superficie regolare. Piano tangente e versore normale. Area di una superficie regolare. Superfici di rotazione. Applicazione del teorema di Guldino per il calcolo dell'area di una superficie di rotazione. Integrale di superficie di una funzione. Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie.