Obiettivi Formativi

Lo scopo fondamentale del corso è quello di fornire allo studente le conoscenze di base di: Teoria astratta della Misura e dell’Integrazione. Elementi della teoria degli Spazi di Lebesgue Lp (1≤p≤+∞), degli Spazi di Hilbert e rappresentazione in essi dei Funzionali lineari e continui. Elementi della teoria della Programmazione Lineare e Ottimizzazione vincolata. Elementi di teoria delle disequazioni variazionali in spazi di Hilbert e applicazione di tale teoria a vari modelli di equilibrio.

Learning Goals

The main purpose of this course is to provide the basic knowledge of: Abstract Theory of Measure and Integration. Elements of the Theory of Lebesgue spaces Lp (1 ≤ p ≤ + ∞), of Hilbert spaces and representation of linear and continuous functionals. Elements of the Linear Programming Theory and Constrained Optimization. Elements of the variational inequality Theory in Hilbert spaces and applications to several equilibrium models.

Metodi didattici

Lezioni frontali ed esercitazioni.

Teaching Methods

Lectures and tutorials.

Prerequisiti

Conoscenza degli argomenti dei corsi di Analisi Matematica per una laurea di primo livello che comprendano il calcolo differenziale e integrale, le successioni e serie di funzioni, teoria della misura e integrazione secondo Lebesgue in R^n.

Prerequisites

Differential and integral calculus in R^n. Numerical sequences and series. Sequences and series of functions. Continuous functions between topological spaces. Metric spaces. Measure theory and Lebesgue integration in R^n.

Verifiche dell'apprendimento

Esame orale

Assessment

Oral test

Programma del Corso

PRELIMINARI. Massimo e minimo limite di una successione di numeri reali estesi. Massimo e minimo limite di successioni di insiemi. Lemma topologico sugli aperti di R^n. INTEGRAZIONE ASTRATTA. σ-algebra. Spazio misurabile. Funzioni misurabili. Insiemi di Borel. Funzioni di Borel misurabili. Composizione di funzioni misurabili e Borel misurabili. Sup, inf, massimo limite, minimo limite di una successione di funzioni misurabili a valori nei reali estesi. Funzioni semplici. Approssimazione delle funzioni misurabili con funzioni semplici misurabili. Misure positive. Proprietà dell’integrale. La funzione integrale di una funzione misurabile non negativa è una misura positiva. Teorema di Beppo-Levi. Integrazione per serie. Lemma di Fatou. Integrale rispetto alla funzione integrale di una funzione integrabile. Integrale di funzioni misurabili a valori complessi. Proprietà dell’integrale. Funzioni sommabili rispetto ad una misura positiva. Teorema di Lebesgue (convergenza dominata). Spazi misurabili completi. Teorema del completamento. Funzioni di potenza p-esima sommabile. Diseguaglianze di Holder e di Minkowsky. Lp(M,µ) con 1≤p≤+∞ sono spazi di Banach. Funzioni essenzialmente limitate. L∞(M,µ) è uno spazio di Banach. Misura σ-finita. Misura relativa. Variazione totale di una misura relativa come misura positiva finita. Teorema di decomposizione di Hahn-Jordan. Caratterizzazione delle misure relative. Integrale rispetto ad una misura relativa. Assoluta continuità secondo Caccioppoli e secondo Vitali. Convergenza quasi-ovunque e convergenza quasi-uniforme di funzioni misurabili. Teorema di Severini-Egoroff. Equiassoluta continuità secondo Caccioppoli e secondo Vitali. Criteri di equiassoluta continuità. Teorema di Viola-Cafiero. FUNZIONI A VARIAZIONE LIMITATA E FUNZIONI ASSOLUTAMENTE CONTINUE. Funzioni a variazione limitata (VL). Variazione totale e sue proprietà. Esempi di funzioni continue che non sono a VL. Funzioni a VL come differenza di funzioni monotone. Funzioni assolutamente continue e loro proprietà. Continuità assoluta della funzione integrale di una funzione sommabile. Esempi di funzioni continue che non sono assolutamente continue. Relazione fra funzioni continue, assolutamente continue a variazione limitata e α-Holderiane. Rettificazione di curve parametriche continue. OTTIMIZZAZIONE. Cenni della teoria della Programmazione Lineare (PL): forma standard e forma canonica di problemi di PL. Geometria della Programmazione Lineare. Dualità nella Programmazione Lineare . Teorema fondamentale o dell’alternativa (applicazione al problema dei trasporti). Estremi vincolati per funzioni di n-variabili con n maggiore o uguale a 2 e m vincoli. Vincoli di uguaglianza e moltiplicatori di Lagrange. Significato economico del moltiplicatore (prezzo ombra). Vincoli di disuguaglianza e Teorema di Kuhn-Tucker SPAZI CON PRODOTTO INTERNO E DI HILBERT. Prime proprietà di spazi con prodotto interno. Diseguaglianza di Schwarz. Spazi di Hilbert. Lo spazio L2 (M,µ) . Sottospazi. Convessi. Ortogonalità. Elemento di minima norma di un insieme chiuso e convesso. Teorema delle proiezioni. Teorema di Riesz sulla rappresentazione dei funzionali lineari e continui in uno spazio di Hilbert. Elementi di teoria delle disequazioni variazionali in spazi di Hilbert. Teoremi di esistenza e teoremi di unicità. Applicazioni (problema di equilibrio del traffico, problema di equilibrio di Nash, problema di equilibrio di Walras).

Course Syllabus

PRELIMINARY. Upper and lower limit of sequences of extended real numbers. Upper and lower limit of sequences of sets. Topological Lemma on open sets of R^n. ABSTRACT INTEGRATION. σ-algebra. Measurable spaces. Measurable functions. Borel sets. Borel measurable functions. Composition of measurable and Borel measurable functions. Upper and lower extreme, upper and lower limit of a sequence of measurable and extended real-valued functions. Simple functions. Approximation of measurable functions with simple misurable functions. Positive measures. Properties of the integral. The integral function of a non-negative measurable function is a positive measure. Beppo-Levi Theorem. Integration for series. Fatou Lemma. Integral with respect to the integral function of an integrable function. Integral of complex-valued measurable functions and properties. Summable functions with respect to a positive measure. Lebesgue theorem (dominated convergence). Complete measurable spaces. Completion Theorem. Summable functions of p-th power. Holder and Minkowski inequalities. Lp (M, μ) with 1 ≤ p < ∞ are Banach spaces. Essentially bounded functions. L ^∞(M, μ) is a Banach space. Σ-finite measure. Relative measure. Total variation of a relative measure as a positive measure. Decomposition theorem of Hahn-Jordan. Characterization of relative measures. Integral with respect to a relative measure. Absolute continuity for Caccioppoli and Vitali. Almost-everywhere convergence and quasi-uniform convergence of measurable functions. Severini-Egoroff theorem. Equiabsolute continuity for Caccioppoli and Vitali. Equiabsolute continuity criteria. Viola-Cafiero theorem. FUNCTIONS OF BOUNDED VARIATION AND ABSOLUTELY CONTINUOUS FUNCTIONS. Functions of bounded variation. Total variation and its properties. Examples of continuous functions which are not of bounded variation. Functions of bounded variation as the difference of monotone functions. Absolutely continuous functions and their properties. Absolute continuity of the integral function of a summable function. Examples of continuous functions which are not absolutely continuous. Relationship between continuous functions, absolutely continuous of bounded variation and α-Hölder continuous function. Rectification of continuous parametric curves. OPTIMIZATION. Linear Programming (LP): Standard and canonical form of LP problems. Geometry of the Linear Programming. Duality Theory in the Linear Programming . Alternative Theorem (applications). Constrained maxima and minima in R^n with n greater or equal to 2 under m constraints. Equality constraints and Lagrange multipliers. Economic meaning of the Lagrangean multiplier . Inequality constraints and Kuhn-Tucker Theorem SPACES WITH INNER PRODUCT AND OF HILBERT. Properties of spaces with inner product. Schwartz inequality. Hilbert spaces. The space L^2 (M, μ). Subspaces. Convexity. Orthogonality. Element of minimal norm of a closed and convex set. Projections theorem. Riesz theorem of representation of continuous and linear functional in a Hilbert space. Elements of variational inequalities theory in Hilbert spaces. Theorems of existence and uniqueness. Applications to equilibrium problems (traffic equilibrium problem, a problem of Nash equilibrium, oligopolistic equilibrium problem and Walrasian equilibrium problem).