Obiettivi Formativi

Fornire i riferimenti teorici per lo studio di equazioni differenziali ordinarie e a derivate parziali attraverso la determinazione delle loro simmetrie di Lie. Fornire gli strumenti computazionali per la determinazione di soluzioni esatte e approssimate di equazioni differenziali di interesse nelle applicazioni fisico-matematiche.

Metodi didattici

Discussione di un'applicazione dei metodi presentati nel corso ed esame orale.

Prerequisiti

Strutture algebriche (gruppi, algebre). Elementi di geometria differenziale. Funzioni analitiche di più variabili. Analisi in varietà differenziabili.

Verifiche dell'apprendimento

Discussione di un'applicazione dei metodi presentati nel corso ed esame orale.

Programma del Corso

1. Gruppi di Lie. Gruppi di trasformazioni ad un parametro. Gruppi continui. Gruppi di Lie. Algebre di Lie. Algebre abeliane, risolvibili, semisemplici. Sottoalgebre di Lie. Sistemi ottimali di sottoalgebre di Lie. Gruppi di trasformazioni infinitesime. Operatori infinitesimi. Teoremi fondamentali di Lie. Equazioni di Lie. Invarianti di un gruppo di trasformazioni. Variabili canoniche. Teoria geometrica delle equazioni differenziali Richiami di geometria differenziale. Varietà differenziabili. Spazio dei getti. Equazioni differenziali come sottovarietà dello spazio dei getti. Simmetrie continue delle equazioni differenziali. Prolungamento dei gruppi di Lie. Algoritmo di Lie per la determinazione delle simmetrie di un'equazione differenziale. Invarianti differenziali. 2. Simmetrie di Lie ed equazioni differenziali ordinarie. Equazioni differenziali del primo ordine. Determinazione del fattore integrante. Equazioni differenziali di ordine superiore al primo. Determinazione delle simmetrie. Struttura dell'algebra delle simmetrie. Abbassamento dell'ordine con le variabili canoniche e con gli invarianti differenziali. Riduzione a quadratura di un'equazione di ordine n che ammette un'algebra n-dimensionale risolvibile. Esempi e applicazioni. 3. Simmetrie di Lie di equazioni a derivate parziali. Determinazione delle simmetrie di Lie per equazioni a derivate parziali. Condizioni di superficie invariante. Soluzioni invarianti. Esempi ed applicazioni (equazioni lineari e non lineari delle onde e del calore, equazioni di Eulero della gas-dinamica, equazioni della magnetofluidodinamica, equazioni di Burgers, Korteweg-deVries e generalizzazioni). Trasformazione di equazioni differenziali a derivate parziali in forma autonoma. Principali teoremi ed applicazioni. Trasformazione di equazioni differenziali a derivate parziali in forma lineare. Principali teoremi ed applicazioni. Trasformazione di equazioni differenziali quasilineari a derivate parziali in forma omogenea. Principali teoremi ed applicazioni. Equazioni Lie-remarkable (univocamente determinate dalle loro simmetrie). 4. Simmetrie generalizzate. Simmetrie non classiche: teoria ed applicazioni. Simmetrie potenziali: teoria ed applicazioni. Simmetrie di contatto: teoria ed applicazioni. Simmetrie variazionali: teorema di Noether. Simmetrie di Lie-Backund. Trasformazioni di equivalenza. 5. Simmetrie approssimate. Gruppi di trasformazioni approssimate. Equazioni di Lie approssimate. Simmetrie approssimate. Simmetrie stabili. Equazioni determinanti. Integrazione delle equazioni differenziali con le simmetrie approssimate. Soluzioni approssimativamente invarianti. Leggi di conservazione approssimate. 6. Computer algebra e simmetrie. Determinazione ed uso delle simmetrie delle equazioni differenziali al calcolatore. Implementazioni in Mathematica (MathLie) e Reduce (Relie). Calcolo automatico di un sistema ottimale di algebre di Lie (SymboLie). Modalità di verifica delle conoscenze: Esame orale sui contenuti del corso.