Obiettivi Formativi

Acquisizione di metodologie di base utili allo studio e alla formalizzazione matematica di classici problemi di Fisica matematica, di interesse interdisciplinare, formulati attraverso equazioni differenziali ordinarie ed alle derivate parziali.

Learning Goals

Acquisition of basic methodologies useful in the study and mathematical formalization of classical problems of mathematical physics, of interdisciplinary interest, expressed through partial differential equations.

Metodi didattici

Lezioni teoriche ed esercitazioni guidate

Teaching Methods

Theoretical and practical lessons

Prerequisiti

Calcolo differenziale ed integrale. Analisi funzionale.

Prerequisites

Differential and integral calculus. Functional analysis.

Verifiche dell'apprendimento

Esame orale

Assessment

Oral exam

Programma del Corso

EDP in fisica, leggi di conservazione. Classificazione delle EDP del primo ordine. Metodo delle caratteristiche. EDP lineari , formula risolutiva. EDP quasi-lineari. Caratterizzazione delle superfici integrali come varietà caratteristiche e relative proprietà. Problema di Cauchy. Equazione del trasporto non lineare, perdita di unicità della soluzione. Teoremi di unicità. Equazione di trasporto non lineare, soluzioni integrali, condizioni di Rankine-Hugoniot. Condizione di entropia ed unicità delle soluzioni integrali. Problema di Riemann. EDP del primo ordine non lineari, strisce caratteristiche e cono di Monge. Problema di Cauchy. EDP secondo ordine quasi-lineari: classificazione. Curve caratteristiche e riduzione a forma canonica. Buona posizione del problema di Cauchy, teorema di Cauchy-Kowaleski. Equazione delle onde. Deduzione del modello unidimensionale. Equazione della corda vibrante su domini limitati, condizioni al bordo di Dirichlet, Neumann, Robin. Unicità della soluzione del problema di Robin, buona posizione secondo Hadamard. Metodo di Fourier. Equazione della corda vibrante su domini illimitati. Formula di D’Alembert, metodo di riflessione delle caratteristiche. Principio di Duhamel. Soluzione dell’equazione delle onde in due e tre dimensioni. Formula di Kirchoff, formula di Poisson. Soluzione fondamentale dell’equazione delle onde uni-dimensionale. Metodo di Riemann per la soluzione delle EDP lineari del secondo ordine di tipo iperbolico. Equazione del calore. Deduzione del modello unidimensionale. Proprietà delle soluzioni dell’equazione omogenea. Unicità della soluzione del problema di Cauchy-Dirichlet/Neumann. Principi di massimo. Soluzioni particolari del problema uni-dimensionale. Metodo di separazione delle variabili. Soluzioni di similarità. Soluzione fondamentale. Soluzione nel quarto di piano. Funzione di Green, Funzione di Neumann. Equazione di Laplace/Poisson. Problemi di Dirichlet, Neumann. Formula di Green, condizione di compatibilità dei dati associati ad un problema di Neumann. Funzioni armoniche. Soluzione fondamentale. Proprietà di media Unicità della soluzione, principio di massimo debole. Soluzione del problema di Laplace/Dirichlet. Soluzione del problema di Laplace/Neumann. Sistemi quasi-lineari iperbolici del primo ordine. Teorema di riduzione. Sistemi 2x2 quasi-lineari, trasformazione odografa, variabili di Riemann. Sistemi 2x2 riducibili, soluzioni canoniche del sistema lineare odografo. Onde semplici nei sistemi 2x2, studio di interazioni tra onde semplici. Propagazione ondosa nei sistemi quasi-lineari iperbolici multicomponenti. Onde semplici, onde di discontinuità. Sistema di Bernoulli per l’evoluzione dell’ampiezza d’onda, tempo critico. Onde linearmente degeneri. Proprietà delle onde multiple nei sistemi di leggi di bilancio. Cenni alle equazioni della fluidodinamica: equazioni di Navier-Stokes-Fourier. Approssimazione di incomprimibiltà. Soluzioni semplici delle equazioni di Navier-Stokes: flussi laminari. Onde asintotiche nei sistemi quasi lineari iperbolici, campo lontano. Sistemi dissipativi e dispersivi, caratterizzazione mediante la relazione di dispersione. Sistemi dissipativi /dispersivi a parte principale iperbolica. Equazione di Burgers’, soluzioni di onda viaggiante. Struttura d’urto. Equazione di Kortweg-de-Vries, onde solitarie.

Course Syllabus

Quasi-linear first order partial differential equations: characteristic manifolds and Cauchy problem. Conservation laws and weak solutions. Nonlinear first order equations, solutions generated as envelopes. Second-order equations: hyperbolic equations for functions of two independent variables. Cauchy-Kowalevski Theorem. Riemann’s method of integration for second order partial differential equations. Quasi-linear hyperbolic 2x2 systems: hodograph method and Riemann invariants. Simple waves. The wave equation in n-dimensional space. The method of spherical means, Hadamard's method of descent, Duhamel’s principle and the general Cauchy problem. The Heat equation, fundamental solution. Initial value problem. Maximum principle, uniqueness and regularity. The Laplace equation, Green's Identity. The Dirichlet and Neumann problems. Hyperbolic first-order quasi-linear systems. Acceleration waves, characteristic manifolds and transport equations for weak discontinuities. Hyperbolic waves and dispersive waves. Asimptotic waves.