Obiettivi Formativi

Lo scopo del corso è quello di fornire conoscenze di base e avanzate degli strumenti matematici necessari per lo studio di fenomeni di propagazione non lineare descritti da equazioni iperboliche. Lo studente apprenderà il metodo delle caratteristiche per la soluzione delle equazioni alle derivate parziali ed acquisirà gli elementi base delle teorie connesse allo studio delle onde semplici, delle onde di discontinuità e delle onde d’urto al fine, tra l’altro, di affrontare lo studio di alcuni argomenti di ricerca attuali di interesse per la propagazione non lineare come i problemi di Riemann.

Learning Goals

The aim of the course is to provide basic knowledge and advanced mathematical tools necessary for the study of propagation phenomena described by nonlinear hyperbolic equations. The student will learn the method of characteristics for the solution of partial differential equations and acquire the basic elements of the theories related to the study of simple waves, discontinuity waves and shock waves in order to deal with study of some current research topics of interest for the nonlinear wave propagation as, for example, Riemann problems.

Metodi didattici

Lezioni frontali ed esercitazioni

Teaching Methods

Lectures and tutorials

Prerequisiti

Calcolo differenziale ed integrale I e II. Geometria I e II. Meccanica Razionale e Meccanica dei Continui.

Prerequisites

Calculus I and II. Geometry I and II. Rational Mechanics and Continuum Mechanics

Verifiche dell'apprendimento

Esame scritto e orale

Assessment

Written and oral test

Programma del Corso

Equazioni alle derivate parziali del primo ordine: curve caratteristiche, buona posizione; dominio di dipendenza; teoremi di esistenza ed unicità; metodo delle caratteristiche, perdita di unicità, tempo critico; equazione di Burgers. Sistemi iperbolici: definizione; sistemi di equazioni lineari, quasilineari, non lineari (esempi); metodo delle caratteristiche per i sistemi lineari; equazione delle onde; sistemi quasilineari ed iperbolici; sistemi iperbolici quasilineari omogenei 2x2; invarianti di Riemann; sistemi conservativi e leggi supplementari di conservazione (esempi). Soluzioni Generalizzate: soluzioni deboli; onde d’urto, condizioni di Rankine-Hugoniot, urti caratteristici; onde eccezionali; condizioni di Lax; urti in gas dinamica. Onde semplici: soluzioni autosimilari; onde di rarefazione. Problema di Riemann: curve di rarefazione e di urto; studio del problema di Riemann per l’equazione di Burgers; studio del problema di Riemann per il p-sistema. Onde di discontinuità: curve di discontinuità; legge di evoluzione.

Course Syllabus

First order Partial Differential Equations: characteristic curves, well-posed problems; uniqueness of solutions; characteristics method; critical time; Burgers equation. Hyperbolic systems: hyperbolicity and first order quasilinear systems; characteristics method for linear systems; wave equation; 2X2 quasilinear nonhomogeneous hyperbolic systems; Riemann invariants; conservation and balance laws. Generalized solutions: weak solutions; shock waves; Rankine-Hugoniot conditions; characteristic shocks; exceptional waves; Lax conditions; shocks in Gas Dynamics. Simple waves: self-similar solutions; rarefaction waves. Riemann problem: rarefaction curves and shock curves; Riemann problem for the Burgers equation; Riemann problem for the p-system. Discontinuity waves: discontinuity curves; evolution law.