Obiettivi Formativi

Il corso fornisce allo studente una introduzione generale alla Teoria delle Algebre non commutative. Particolare attenzione viene rivolta allo studio degli anelli primi, semiprimi, primitivi e semiprimitivi, il cui approfondimento è finalizzato ad una migliore comprensione delle algebre soddisfacenti identità polinomiali ed identità funzionali ed allo studio della loro struttura.

Learning Goals

The purpose of lectures is to give students an introduction to the theory of non-commutative associative algebras. In particular we'll focus our attention on prime, semiprime, primitive and semiprimitive rings and give a definitive and comprehensive set of 'tools' for studying the structure of prime and semiprime algebras satisfying functional identities

Metodi didattici

Lezioni frontali in aula.

Teaching Methods

Traditional lectures format.

Prerequisiti

Algebra I – Algebra II (Teoria dei Gruppi, Teoria degli Anelli, Teoria dei Campi)

Prerequisites

Algebra I – Algebra II (Group theory, Ring theory, Field theory)

Verifiche dell'apprendimento

La prova di verifica finale si divide in due parti: una prova scritta ed una orale. Il voto finale e' la media aritmetica dei voti conseguiti separatamente in ciascuna delle due prove.

Assessment

The final examination consists of a written test and an oral test. The final grade is the arithmetic mean of the marks obtained in the two tests.

Programma del Corso

Moduli irriducibili e moduli fedeli su di un anello. Anelli primitivi. Teorema di densità di Jacobson. Anelli primi e semiprimi. Anelli semisemplici. Teorema di Wedderburn-Artin. Il radicale di Jacobson di un anello. Anelli semiprimitivi. Prodotti tensoriali. Algebre centrali e semplici. Anelli primi e semiprimi soddisfacenti identità polinomiali . Anello dei quozienti di Martindale. Anelli primi soddisfacenti identità polinomiali generalizzate. Polinomi funzionali in variabili non commutative. Derivazioni e derivazioni generalizzate in anelli semiprimi. Automorfismi in anelli semiprimi. Identità polinomiali differenziali. Identità polinomiali differenziali generalizzate. Identità polinomiali differenziali con automorfismi. Identità polinomiali differenziali generalizzate con automorfismi. La struttura degli anelli primi e semiprimi soddisfacenti identità funzionali. Sottoanelli invarianti sotto l'azione di automorfismi. Sottogruppi invarianti sotto l'azione di automorfismi. Sottogruppo generato dalle valutazioni di un polinomio. Sottoanello generato dalle valutazioni di un prodotto di Lie con derivazione. L'ipercentro di un anello.

Course Syllabus

Simple and faithful modules. Primitive rings. Jacobson density theorem. Prime and semiprime rings. Semisimple rings. Wedderburn-Artin theorem. Jacobson radical. Semiprimitive rings. Central simple algebras. Prime and semiprime rings satisfying polynomial identities . Martindale quotient ring. Prime rings satisfying generalized polynomial identities. Functional identities. Derivations and generalized derivations on semiprime rings. Automorphisms on semiprime rings. Differential identities. Generalized differential identities. Generalized differential identities with automorphisms. The structure of prime and semiprime rings satisfying functional identities. Invariant subrings under the action of automorphisms. Invariant subgroups under the action of automorphisms. Additive subgroup generated by the evaluations of a polynomial. Subring generated by the evaluations of a Lie product involving derivations. The hypercenter of a ring.