Obiettivi Formativi

Obiettivo formativo del corso di Sistemi Dinamici è quello di studiare problemi della realtà con i metodi matematici della teoria dei sistemi dinamici continui finito dimensionali. In particolare fornisce conoscenze su sistemi di equazioni differenziali del primo ordine lineari e non lineari: studio della stabilità delle soluzioni, classificazione dei punti critici, teoria della linearizzazione, studio delle biforcazioni.

Learning Goals

The course objective of Dynamic Systems is to study reality problems with the mathematical methods of the theory of continuous dynamic dimensional dynamic systems. In particular it provides knowledge on linear and nonlinear linear order differential equation systems: study of solution stability, critical point classification, linearization theory, bifurcation study.

Metodi didattici

Lezioni frontali ed esercitazioni in laboratorio

Teaching Methods

Frontal lessons and laboratory exercises

Prerequisiti

Analisi matematica, equazioni differenziali e teoria delle matrici.

Prerequisites

Mathematical analysis, differential equations and matrix theory.

Verifiche dell'apprendimento

L'esame finale consiste in una prova orale durante la quale il candidato dimostra di aver assimilato gli argomenti trattati nel corso

Assessment

Final oral examination.

Programma del Corso

1. Introduzione ai sistemi dinamici. Definizioni ed esempi: oscillatore armonico, pendolo semplice, crescita economica di uno stato, dinamica di una popolazione, modello di Malthus, modello logistico, dinamica di due popolazioni biologiche, modello preda - predatore. 2. Sistemi dinamici lineari. Sistemi di dimensione uno: metodo analitico, analisi grafica. Caso continuo. Sistemi dinamici in dimensione maggiore di 1. Matrice dei coefficienti del sistema lineare diagonalizzabile, esponenziale di una matrice. Stabilità e instabilità lineare. Rappresentazione geometrica mediante campi vettoriali. Matrice non diagonalizzabile. Ritratti di fase in dimensione uno e due. Punto sella, nodo, fuoco, centro, pozzo e sorgente. 3. Sistemi non lineari. Punti fissi. Stabilità e instabilità dei punti fissi. Stabilità globale. Linearizzazione. Punti di equilibrio iperbolici. Metodo di Lyapunov. Teorema di Lyapunov (stabilità, stabilità asintotica e instabilità). Teorema di Dirichlet-Lagrange. Sistemi gradiente. Sistemi hamiltoniani. Applicazioni in dimensione due. Parametro di biforcazione. Diagramma di biforcazione. Biforcazione sella-nodo, transcritica, a forchetta. 4.Applicazioni. Sistemi meccanici: oscillatore armonico, oscillatore armonico smorzato, pendolo semplice, pendolo smorzato. Sistemi biologici: modello preda- predatore di Lotka -Volterra, diffusione di una malattia infettiva.

Course Syllabus

1. Introduction to Dynamic Systems. Definitions and examples: harmonic oscillator, simple pendulum, economic growth of a state, dynamic of a population, model of Malthus, logistic model, dynamic of two biological populations, prey - predator model. 2. Dynamic linear systems. One dimension systems: analytical method, graphic analysis. Continuous case. Dynamic systems in size greater than 1. Matrix of the coefficients of the linear system diagonizable, exponential of a matrix. Stability and linear instability. Representation geometric through vector fields. Non-diagonalizable matrix. Phase portraits in one and two dimensions. Saddle, node, spiral, center, sink and source points. 3. Non-linear systems. Fixed points. Stability e instability of fixed points. Global stability. Linearization. Equilibrium points hyperbolic. Lyapunov method. Lyapunov Theorem (Stability, stability, asymptotic and unstable). Dirichlet-Lagrange theorem. Gradient systems. Hamiltonian systems. Applications in two dimension. Bifurcation parameter. Diagram of bifurcation. Saddle-node, tangent, pitchfork bifurcations. 4.Applications. Mechanical systems: harmonic oscillator, harmonic oscillator damped, simple pendulum, damped pendulum. Biological systems: Predator-prey model of Lotka -Volterra, spread of an infectious disease.