Obiettivi Formativi

Fornire le nozioni di base dell'analisi complessa, della serie di Fourier e delle trasformate di Laplace e di Fourier.

Learning Goals

The course gives the basic notions of the complex analysis, Fourier series, Laplace and Fourier transforms.

Metodi didattici

Lezioni teoriche ed esercitazioni mediante lavagna e videoproiettore

Teaching Methods

Lessons with theory and exercises by means of blackboard and videoprojector.

Prerequisiti

Conoscenze di base della geometria e dell'analisi matematica.

Prerequisites

Some basic notions of geometry and analysis.

Verifiche dell'apprendimento

Prova scritta sugli argomenti trattati durante le esercitazioni e successiva prova orale su tutti gli argomenti trattati durante il corso

Assessment

Written final examination ragrding the same kind of exercises delivered during the course and subsequent oral exam on all the topics of the course.

Programma del Corso

Richiami sui numeri complessi, Funzioni di variabile complessa, Funzioni olomorfe, Richiami sulle serie di potenze, Integrazione in campo complesso, Funzioni analitiche, Zeri, Punti singolari, Serie bilatere, Serie di Laurent, Residuo, Teorema dei Residui e applicazioni al calcolo degli integrali. Richiami sugli spazi vettoriali, Spazi vettoriali normati, Spazi metrici, Prodotto scalare, Insiemi di vettori ortogonali e ortonormali, Ortogonalità delle funzioni trigonometriche, Proiezioni ortogonali e Disuguaglianza di Bessel. Polinomi di Fourier, Serie di Fourier, Convergenza Puntuale, Criterio di Dirichlet, Convergenza Uniforme, Convergenza in Media Quadratica, Fenomeno di Gibbs. Trasformata di Laplace, Proprietà della Trasformata di Laplace, Convoluzione, Funzioni Beta e Gamma di Eulero, Inversione della Trasformata di Laplace, Applicazioni alle Equazioni differenziali. Trasformata di Fourier, Legame tra la trasformata di Fourier e la trasformata di Laplace, Proprietà della trasformata di Fourier.

Course Syllabus

Recall about complex numbers, Functions of a complex variable, Recall about power series, Integration for complex Functions, Analytic Functions, Zeros, Singular points, Laurent Expansions, Residues, Residue theorem and applications to the integration of real functions. Recall about vectorial spaces, Scalar product, Orthogonal and orthonormal vectors, Orthogonality of the trigonometric functions, Projections, Bessel inequality. Fourier Series, Convergence, Dirichlet criterion, Uniform convergence, Gibbs phenomena. Laplace Transform, Properies of the Laplace Transform, Convolution, Beta and Gamma functions, Inversion of the Laplace Tranform,. Applications to the differential equations. Fourier transform, Relation between the Fourier and the Laplace transforms. Properties of the Fourier Transform.