Obiettivi Formativi

Lo scopo del corso è quello di fornire allo studente le conoscenze fondamentali, teoriche e di calcolo relativi ai concetti di base dell’analisi matematica: numeri reali, limiti, continuità, successioni e serie numeriche, calcolo differenziale e teoria dell'integrazione per funzioni di una variabile.

Learning Goals

The aim of the course is to provide the student with the fundamental and basic knowledge (both theoretical and practical) of the Mathematical Analysis: real number, limits, continuity, sequences and series, differential calculus and integration theory

Metodi didattici

Lezioni frontali ed esercitazioni.

Teaching Methods

Lectures and tutorials.

Prerequisiti

Geometria euclidea. Equazioni razionali, di ordine superiore e irrazionali, con valore assoluto, esponenziali e logaritmiche. Trigonometria: misura in radianti di un angolo; identità e relazioni fondamentali, angoli notevoli; grafici di seno, coseno, tangente; equazioni trigonometriche e trigonometriche inverse.

Prerequisites

Euclidean geometry. Equations: Rational, of higher order and radical, with absolute value, exponential and logarithmic. Trigonometry: radian, identity and fundamental relations, graphs of sine, cosine and tangent function; trigonometric and inverse trigonometric equations.

Verifiche dell'apprendimento

Prove in itinere, esame scritto e orale

Assessment

Progress tests, written and oral exam

Programma del Corso

Risoluzione di disequazioni. Insieme R. R è un campo ordinato archimedeo. Numeri naturali, interi e razionali. Principio di induzione. Sottoinsiemi limitati di R. Maggioranti, minoranti, massimi e minimi. Estremo superiore ed estremo inferiore di un insieme e caratterizzazione. Caratterizzazione delle classi separate e contigue. Insiemi illimitati. Elementi di calcolo combinatorio, binomio di Newton. Concetto di funzione e proprietà. Funzioni composta ed inversa. Funzioni monotòne. Grafici delle principali funzioni elementari con relative proprietà e campi di esistenza. Concetto di successione. Successioni limitate e monotòne. Concetto di limite di successione. Successioni convergenti, divergenti e non regolari. Teorema di unicità del limite. Successioni limitate e principali teoremi. Successioni divergenti e principali teoremi. Teoremi di somma, differenza, prodotto e quoziente dei limiti. Forme indeterminate. Teorema della permanenza del segno. Teoremi del confronto. Il numero di Nepero e ulteriori Limiti notevoli. Criterio del rapporto. Successioni estratte. Teorema di Bolzano-Weierstrass. Successioni di Cauchy e criterio di convergenza. Punti di accumulazione e punti isolati in R . Definizione di limite. Legame tra limiti di funzioni e limiti di successioni. Teoremi di somma, differenza, prodotto e quoziente dei limiti. Limite destro, limite sinistro e loro proprietà. Limiti notevoli. Limite delle funzioni composte. Funzioni continue. Discontinuità. Teorema della permanenza del segno. Teorema dell’esistenza degli zeri. Teoremi di esistenza dei valori intermedi. Teorema di Weierstrass. Criteri di invertibilità. Teorema sul limite delle funzioni monotòne. Criterio di continuità per le funzioni monotòne. Definizione di derivata e significato geometrico. Derivata destra e sinistra. Teorema di derivabilità e regole di derivazione. Derivate delle funzioni composte e inverse. Derivate delle funzioni elementari. Massimo e minimo relativi. Teorema di: Fermat, Rolle Lagrange e Cauchy. Teorema di L’Hopital. Funzioni crescenti e decrescenti. Criterio di monotonia e conseguenze. Funzioni convesse e concave. Criterio di convessità. Asintoti orizzontali, verticali e obliqui. Studio del grafico di funzioni reali di una variabile reale. Concetto di epigrafico di una funzione. Definizione e caratterizzazione di funzioni convesse o concave. Continuità delle funzioni convesse. Successioni definite per ricorrenza. Successione di Fibonacci. Massimo e minimo limite di successioni reali. Definizione di serie. Somma di una serie. Serie di Mengoli, serie armonica e armonica generalizzata, serie geometrica. Condizione di Cauchy per la convergenza di una serie. Serie a termini non negativi e criteri di convergenza (confronto, radice, rapporto). Teorema di Cauchy. Serie assolutamente convergenti. Serie segno alterno. Criterio di Leibnitz. I simboli di Landau (“o” e “O”). Differenziabilità. Polinomio di Taylor. Formula di Taylor con resto di Peano e di Lagrange. Infinitesimi, infiniti e confronti. Sviluppi delle funzioni elementari. Applicazioni al calcolo dei limiti di funzioni. Funzioni primitive. Definizione di integrale indefinito e proprietà. Teorema e formula fondamentale del calcolo integrale. Regole di integrazione. Definizioni di Somme inferiori e somme superiori. Integrale indefinito e proprietà. Condizione di integrabilità. Funzioni uniformemente continue. Teorema di Cantor. Integrabilità delle funzioni continue. Teorema della media. Calcolo di aree di figure piane. Integrali generalizzati. Criteri di convergenza per integrali generalizzati.

Course Syllabus

Preliminary: Rational and radical inequalities, with absolute value, exponential and logarithmic inequalities. The real field: Sets: N, Z, Q, R. Principle of Mathematical induction. Max, Min, Sup and Inf. The Completeness axiom. Some properties of Sup and Inf. The Archimedean properties of the real numbers system. Unbounded sets. Elements of combinatorial calculus, Newton binomial theorem. Real functions: Relations and functions. One-to-one functions and inverses. Composite functions. Elementary functions and their graphs. Real sequences: Convergent sequences. Subsequences. Cauchy sequences. Monotonic sequences. Algebra of sequences limits. Theorems. The number e. The Bolzano-Weierstrass theorem. Limits and Continuity: Accumulation points. Limits of functions. Continuous functions. Discontinuities. Monotonic functions. Relation between sequences limits and function limits. Bolzano’s Theorem. Intermediate values Theorem for continuous functions. Weierstrass’ Theorem. Derivatives: Definition of derivative geometric meaning. Derivatives and continuity. Algebra of derivatives. The chain rule. One-sided derivatives and infinite derivatives. Zero derivative and local extrema. Rolle, Fermat, Lagrange and Cauchy Theorems. Mean-value Theorem. L’Hopital’s Rule. Applications of derivatives: monotone functions and convex functions. Study of the function’s graph (rational, with absolute value, exponential and logarithmic functions). Trigonometric and inverse trigonometric inequalities. Graphs of functions: radical, Trigonometric and inverse trigonometric, hyperbolic and inverse hyperbolic functions. Appendix to real functions: Epigraphs of a function. Characterization of convex functions. Continuity on convex functions. Appendix to real sequences: Recurrence Relations. Fibonacci sequence. Upper and lower limits for sequences. Real series: Series. Series of nonnegative terms. The root and ratio tests. Geometric series. Summation by parts. Absolute convergence. Addition and multiplication of series. Leibnitz’s theorem. Differential calculus: Derivatives of higher order. Taylor’s Theorem. Applications. Indefinite integral: Primitive functions. Definition of indefinite integral and properties. Integration rules. Fundamental Theorem and Formulas of integral calculus . The Riemann- Stieltjes integral: Definition of integral: upper and lower integrals. Properties. Riemann’s Condition of integrability. Integrability of continuous functions. Cantor’s Theorem. Mean-value Theorem of Riemann integrals. Applications of integrals: calculus area and volume. Improper integrals. Convergence of the improper integrals.