Obiettivi Formativi

Il corso si prefigge di far acquisire padronanza nello studio di algoritmi numerici e della loro implementazione in ambiente di calcolo scientifico e maturare un’analisi critica dei risultati ottenuti.

Metodi didattici

A tale scopo le lezioni del corso sono integrate da esercitazioni pratiche svolte in laboratorio, durante le quali, fornite le conoscenze del linguaggio di programmazione FORTRAN e degli ambienti di sviluppo per il calcolo scientifico (come MATLAB, Octave e Scilab) al fine di permettere la necessaria implementazione e sperimentazione di tutti gli algoritmi e i metodi numerici studiati durante il corso, viene, anche, stimolata e acquisita l’analisi critica dei risultati ottenuti.

Prerequisiti

Tutti i corsi di matematica, algoritmi e programmazione.

Verifiche dell'apprendimento

Le verifiche sull'apprendimento si basano su una serie di esercizi sugli argomenti del programma divisi in gradi gruppi, che prevedono l'implementazione, anche con uso di Librerie Scientifiche (come IMSL) degli algoritmi e la verifica di tali metodi numerici su insiemi di dati test. La soglia di sufficienza per il giudizio di laboratorio si ottiene svolgendo un esercizio, comprensivo dell’analisi dei risultati ottenuti da almeno due differenti insiemi di dati, per ognuno dei gruppi di esercizi. In caso di insufficienza sarà richiesta una ulteriore prova di laboratorio su esercizio specifico che dovrà essere svolta prima dell’esame finale. L’esame finale è orale. In tal modo: 1) si accertano le conoscenze acquisite dagli studenti su ogni singolo argomento del programma; 2) si verifica la capacità degli studenti di applicare a particolari problemi la teoria studiata.

Programma del Corso

NUMERI FINITI. Teorema di rappresentazione dei numeri reali. Numeri finiti: l’insieme dei numeri di macchina. Precisione di macchina. Analisi degli errori. Stabilità degli algoritmi. Condizionamento dei problemi. Indici di condizionamento. Errori nelle operazioni aritmetiche con numeri finiti. SISTEMI LINEARI: METODI DIRETTI. Matrici e vettori. Operazioni sulle matrici. Matrice inversa di una matrice quadrata. Norme vettoriali e matriciali. Sistemi lineari. Risoluzione di sistemi lineari normali non singolari. Fattorizzazlone di una matrice nel prodotto di due matrici triangolari. Il metodo di Gauss per risolvere un sistema lineare normale. Complessità computazionale dell'algoritmo di fattorizzazione di Gauss. Stabilità degli algoritmi di fattorizzazione. Stima dell'indice di condizionamento di una matrice (dimostrazione). Inversione di una matrice con il metodo di Gauss-Jordan. Matrici simmetriche definite positive. Algoritmo di Cholesky. Matrici sparse. Risoluzione di un sistema tridiagonale. SISTEMI LINEARI: METODI ITERATIVI. Metodi iterativi per la risoluzione di sistemi lineari normali non singolari. Metodo di Jacobi. Metodo di Gauss-Seidel. Velocità di convergenza per i metodi iterativi. Condizioni di convergenza. Condizioni sufficienti per la convergenza di un metodo iterativo (dimostrazione). INTERPOLAZIONE ED APPROSSIMAZIONE DEI DATI. Formulazione del problema della ricostruzione di dati sperimentali. Polinomio di interpolazione: formula di Lagrange. Differenze divise di una funzione. Polinomio di interpolazione: formula di Newton. Complessitaà computazionale degli algoritmi di interpolazione polinomiale. Formula dell’errore nell’interpolazione polinomiale (dimostrazione). Il fenomeno di Runge. Interpolazione con le funzioni spline. INTEGRAZIONE NUMERICA. Formule di quadratura: formule di Newton-Cotes: formule dei trapezi e di Cavalieri-Simpson. Formule composite di Newton-Cotes. Errore nelle formule di Newton-Cotes.