Obiettivi Formativi

Fornire dimestichezza con i numeri ordinali, i numeri cardinali, le funzioni cardinali e tecniche standard per la dimostrazione di disuguaglianze cardinali. Si fornisce inoltre un approccio alla topologia algebrica ed in particolare la gruppo fondamentale che rappresenta un esempio dell'idea che sta alla base della topologia algebrica, ovvero trasformare problemi topologici in problemi algebrici.Si introducono elementi di topologia differenziale: varietà topologiche, differenziabili e analitiche.

Learning Goals

We give an approach to ordinal numbers, cardinal numbers and farinal functions. In particular standard proof's tecniques for cardinal inequalities are considered. Further an approach to algebraic topology is given. In particular topological group is studied. It represent the basic idea of algebric topology, tha is to transform topological problems into algebric problems. Also topological, analitic and differential manifold are intrduced.

Metodi didattici

Lezioni frontali ed esercitazioni.

Teaching Methods

Lectures and tutorials.

Prerequisiti

Conoscenza della teoria degli spazi topologici.

Prerequisites

Topolgical spaces.

Verifiche dell'apprendimento

Esame orale.

Assessment

Oral test.

Programma del Corso

NUMERI ORDINALI E NUMERI CARDINALI: La teoria assiamatica di Zermelo-Fraenkel. Relazioni ed ordinamenti. Assioma di scelta e sue forme equivalenti. Applicazioni del Lemma di Zorn. Proprietà degli insiemi bene ordinati. Insiemi transitivi. Caratterizzazione degli insiemi transitivi. Numeri ordinali. Proprietà. Ordinali successori. Paradosso di Burali-Forti. Teorema di Cantor-Bernstein. I numeri cardinali. Cardinalità di un insieme. Operazioni con i numeri cardinali. Teorema di Cantor. La cardinalità dell’insieme dei numeri reali. Cardinali successori. Il cardinale ω1. Ipotesi del continuo ed ipotesi generalizzata del continuo. Cofinalita’. Cardinali regolari. Proprietà, esempi ed applicazioni. Cardinali singolari. Teorema di Koenig. Spazi topologici linearmente ordinati (brevemente LOTS). La retta di Sorgenfrey; proprietà. Spazio GO. Spazi numerabilmente compatti e pseudo compatti; loro equivalenza nella classe degli spazi normali. Esempio di spazio di Tychonoff pseudo compatto non numerabilmente compatto. Spazi localmente compatti. Gli spazi topologici ω1 +1 e ω1. FUNZIONI CARDINALI: Spazi metrizzabili. La cardinalità dell’insieme delle funzioni continue reali definite sull’insieme dei numeri reali. Funzioni cardinali locali: carattere, pseudocarattere, tightness. Il piano di Niemytszki. Uno spazio numerabile di Hausdorff non primo numerabile. Il Cubo di Cantor 2k e l’insieme di Cantor 2χ0. Equivalenza tra carattere e pseudocarattere nella classe degli spazi localmente compatti di Hausdorff. Funzioni cardinali globali: peso, peso di rete. Il peso del Cubo di Cantor 2k . Il cubo diTychonoff ed il cubo di Hilbert. Disuguaglianze cardinali: |X| ≤ 2w(X) , per spazi T0 ; w(X)≤|X|, per spazi compatti di Hausdorff. Equivalenza tra peso e peso di rete nella classe degli spazi compatti di Hausdorff. Numero di Lindelof, estension e diffusione. Il numero di Lindelof ereditario. La densità. Spazi separabili. Equivalenza tra peso e densità nella classe degli spazi metrici. Disuguaglianze cardinali: |X|≤22d(X) , per spazi di Hausdorff, |cl(A)|≤|A|χ(X) , per ogni sottoinsieme A di uno spazio di Hausdorff X, w(X)|≤2d(X) , per ogni spazio regolare X, Lemma di Jones. Teorema di Hewitt-Marczewski-Pondiczery. Uno spazio numerabile, completamente regolare avente carattere uguale al continuo in ogni suo punto. Densità ereditaria. Proprietà, legami ed esempi. Le cellularità. Proprietà, legami ed esempi. Disuguaglianza di Arhangel’skii. Cardinalità di uno spazio compatto, di Hausdorff, primo numerabile. Generalizzazioni della disuguaglianza si Arhangel’skii. ELEMENTI DI TOPOLOGIA ALGEBRICA: Introduzione intuitiva alla Topologia Algebrica. Omotopia. Il gruppo fondamentale. Il gruppo fondamentale della circonferenza. Il teorema del punto fisso di Brower in dimensione 1 e 2. Il gruppo fondamentale della sfera. Il gruppo fondamentale del piano proiettivo.In teorema di Borsuk-Ulam in dimensione 2. Il teorema fondamentale dell’algebra. ELEMENTI DI TOPOLOGIA DIFFERENZIABILE: Varietà topologiche, analitiche e differenziabili. Principali proprietà.

Course Syllabus

ORDINAL AND CARDINAL NUMBERS: ZF axioms. Choice axiom. Well ordered sets. Ordinal numbers. Burali-Forti paradox. Cantor-Bernstein's theorem. Cardinal numbers. Cardinality of a set. Cantor's theorem. The cardinality of the real set. ω1. (Generalized) continuum hypothesis. Cofinality. Regular cardinal. Singular cardinal. Koenig's theorem. Linear ordinal topological spaces (briefly, LOTS). Sorgenfrey's line. GO spaces. Countably compact and pseudompact spaces. Locally compact spaces. ω1 +1 e ω1. CARDINAL FUNCTIONS: Metrizable spaces.Local cardinal functions: chatacter, pseudocharacter, tightness. Niemytszki's plane. Cantor cube and Cantor set. Global cardinal functions: weight and netweight. The weight of Cantor cube. Tychonoff cube and Hilbert cube. Crdinal inequalities: |X| ≤ 2w(X) , for T0 spaces ; w(X)≤|X|, for compact Hausdorff spaces. Lindelof number, extension and spread. The density. Separable spaces. Cardinal inequalities: |X|≤22d(X), for Hausdorff spaces, |cl(A)|≤|A|χ(X) , for any subset A of a Hausdorff space X, w(X)|≤2d(X) , for regular space X, Jones Lemma. Hewitt-Marczewski-Pondiczery's theorem. The cellularity. Arhangel’skii's inequality and its generalizations. ELEMENTS OF ALGEBRAIC TOPOLOGY: Introduction. Homotopy. The fundamental group. The fundamental group of the circle. Brower's theorems. The fundamental group of the sphere. The fundamental group of projective plane. The Borsuk-Ulam's theorem. ELEMENTS OF DIFFERENTIAL TOPOLOGY. Topological, analitic and differential manifolds.