Obiettivi Formativi

Comprensione dei principali strumenti matematici, locali e globali, analitici e geometrici, necessari allo studio dei modelli meccanici e biologici descritti da equazioni e sistemi differenziali ordinari. Studio dei principali modelli di evoluzione di una o più popolazioni interagenti, sia nell'ambito discreto che nel continuo. Modellizzazione di fenomeni fisici,biologici e medici.

Learning Goals

Understanding of key mathematical tools, local and global, analytical and geometric necessary for the study of the mechanical and biological models described by ordinary differential equations and systems. Study of the major patterns of evolution of one or more interacting populations, both in a discrete and continuous. Modelization of physical, biological and medical.

Metodi didattici

Il corso prevede lezioni teoriche.

Teaching Methods

The course includes theoretical lectures.

Prerequisiti

I prerequisiti richiesti quelli forniti dai corsi di base della Laurea triennale in matematica.

Prerequisites

The prerequisites those provided by the courses of the degree in mathematics

Verifiche dell'apprendimento

Esame orale per verificare la conoscenza delle definizioni e dei risultati di base della teoria.

Assessment

Oral exam to verify the knowledge and understanding of the basic definitions and theorems of calculus.

Programma del Corso

Sistemi dinamici discreti e continui, generalità. Sistemi lineari e non lineari. Equilibri e stabilità, studio degli autovalori. Classificazione dei punti stazionari. Applicazione a modelli biologici di crescita delle popolazioni di tipo malthusiano o logistico, il sistema predatore-preda di Lotka-Volterra. Modellizzazione e analisi di vari fenomeni fisici. Modelli di competizione e cooperazione. Il principio dell'esclusione competitiva. Malattie infettive: modelli SIR, SI(R), SI. SIRS. Le epidemie. Modello dell'AIDS

Course Syllabus

Linear systems - Systems of differential equations. Stability in dynamical systems. Stability of equilibrium points. The classification of the balance point of a linear second-order system: fire, node, saddle, degenerate points. Non-linear systems - Effect of non-linearity and linearization in the neighborhood of equilibrium points. Main types of bifurcation: saddle-node, transcritical, pitchfork. Population dynamics. The logistic equation. The dynamics of two interacting populations. The predator-prey problem. The Lotka-Volterra equations. Considerations on the solutions found in the various casi.Study of the stability. Competition and cooperation. the competitive exclusion principle. Infectious diseases: SIR model. infectious diseases without permanent immunity: SI model (R). SIRS model. Dynamics of Infectious Diseas: Epidemic Models and AIDS