Obiettivi Formativi

Il corso si propone di fornire agli studenti i metodi per lo studio della Teoria della rappresentazione del gruppo simmetrico e per lo studio dello spazio vettoriale delle funzioni simmetriche. In particolare lo studente sarà introdotto allo studio della Combinatoria algebrica nel suo moderno sviluppo. Alla fine del corso sarà in grado di consultare e leggere la moderna letteratura relativa agli argomenti trattati. Potrà orientarsi nella scelta di un argomento di ricerca,oggetto della tesi magistrale,da scegliere tra i temi illustrati dal docente .

Learning Goals

Algebraic combinatorics is an area of Mathematics that employs methods of abstract algebra, notably group theory and representation theory, in various combinatorial contexts and, conversely, applies combinatorial techniques to problems in algebra. Algebraic combinatorics has come to be seen more expansively as an area of Mathematics where the interaction of combinatorial and algebraic methods is particularly strong and significant. The purpose of the lectures is to study the representation theory of symmetric group and the vector space of symmetric functions.

Metodi didattici

Lezioni frontali in aula.

Teaching Methods

Traditional lectures format.

Prerequisiti

Teoria dei Gruppi, Teoria degli Anelli, Teoria dei Campi.

Prerequisites

Group Theory, Ring Theory, Field Theory.

Verifiche dell'apprendimento

La prova di verifica finale consiste in un esame orale.

Assessment

The final examination consists in an oral test.

Programma del Corso

Il gruppo simmetrico.Le partizioni di un intero positivo n e le tabelle di Young. Le rappresentazioni irriducibili del gruppo simmetrico. Le funzioni simmetriche elementari.Le funzioni simmetriche monomiali.Lo spazio vettoriale delle funzioni simmetriche: basi, dimensione e Teorema fondamentale delle funzioni simmetriche. Definizione classica e definizione combinatoria di funzione di Schur. La base delle funzioni di Schur. Le funzioni simmetriche complete: legami con le funzioni simmetriche monomiali. Le funzioni simmetriche somme di potenze. Le identità di Jacobi-Trudi e le formule di Giambelli.

Course Syllabus

The symmetric group.The elementary theory of partitions The number of inequivalent irreducible representations of the symmetric group is equal to the number of partitions of n. Young tableaux. Hook formula.Elementary symmetric functions. Monomial symmetric functions. The vector space of symmetric functions. Schur functions. Combinatorial definition of the Schur function. Complete symmetric functions. The power symmetric functions. Jacobi Trudi identity. Giambelli formulas.