Obiettivi Formativi

Obiettivo del corso è fornire agli studenti i risultati fondamentali dell'Analisi funzionale. La teoria verrà sempre accompagnata da esempi e applicazioni significative.

Learning Goals

The aim of the course is to provide students with the basic results of Functional Analysis. The theory is always accompanied by examples and significant applications.

Metodi didattici

Lezioni frontali.

Prerequisiti

I prerequisiti richiesti sono elementi di Topologia e di Analisi matematica di base, insieme a solide basi di teoria della misura e dell'integrazione.

Prerequisites

The prerequisites consist in elements of Topology and Mathematical Analysis, along with a deep knowledge of the Theory of Measure and Integration.

Verifiche dell'apprendimento

Esame orale.

Programma del Corso

Spazi metrici totalmente limitati. Caratterizzazione degli spazi metrici compatti. Metrica della convergenza uniforme. Spazio delle funzioni limitate e delle funzioni totalmente limitate. Caratterizzazione della totale limitatezza di una famiglia di funzioni. Famiglia di funzioni equiuniformemente continue. Teorema di Ascoli-Arzelà. Teorema di Peano per il problema di Cauchy. Spazi vettoriali topologici localmente convessi. Spazi normati di dimensione finita. Lemma di Riesz. Caratterizzazione di Riesz della finito-dimensionalità di uno spazio normato. Operatori lineari tra spazi normati. Lo spazio degli operatori lineari e continui tra due spazi normati. Duale topologico di uno spazio normato. Il teorema della mappa aperta. Il teorema dell’inverso continuo. Il teorema delle due norme. Il teorema del grafico chiuso. Lemma di Osgood. Il principio dell’uniforme limitatezza. Il teorema di Banach-Steinhaus. Teorema di Hahn-Banach e sue conseguenze. Coppie di insiemi separati. Teoremi di separazione. La topologia σ di uno spazio vettoriale. La topologia σ su un sottospazio totale del duale algebrico di uno spazio vettoriale. La topologia debole di uno spazio vettoriale topologico di Hausdorff localmente convesso. Mappa canonica e sue proprietà. Topologia debole star. Polari e loro proprietà. Il teorema della bipolare. Il teorema di Banach-Alaoglu. Il Teorema di Goldstine. Spazi di Banach riflessivi. Le caratterizzazioni di Kakutani e di James degli spazi di Banach riflessivi. Spazi uniformemente convessi. Teorema di Milman-Pettis. Spazi di Hilbert. Teorema della proiezione. Il teorema di Riesz sulla rappresentazione dei funzionali lineari e continui negli spazi di Hilbert. Cenni alle disequazioni variazionali. Teorema di Stampacchia. Teorema di Lax-Milgram. Insiemi ortonormali. Serie di Fourier negli spazi di Hilbert. Disuguaglianza di Bessel. Identità di Parseval. Teorema di Riesz-Fischer. Esistenza di basi ortonormali per gli spazi di Hilbert separabili. Spazi Lp (1≤p≤∞). Disuguaglianza di Hölder. Disuguaglianze di Clarkson. Duale topologico degli spazi L^p. Riflessività degli spazi L^p. Alcuni teoremi di densità negli spazi L^p. Separabilità degli spazi L^p. Prodotto di convoluzione. Supporti e loro proprietà. Mollificatori. Uso dei mollificatori nei prodotti di convoluzione. Criterio di compattezza forte in L^p: il Teorema di Riesz-Fréchet-Kolmogorov. Ortogonalità negli spazi di Banach. Operatori lineari non limitati. Nucleo, rango e grafico di un operatore. Aggiunto di un operatore e sue proprietà. Operatori compatti. Teorema di Schauder sull’operatore aggiunto. La teoria di Riesz-Fredholm. Risolvente, spettro e autovalori di un operatore. Spettro di un operatore compatto. Operatori lineari autoaggiunti su spazi di Hilbert. Operatori simmetrici. Decomposizione spettrale degli operatori compatti autoaggiunti compatti su spazi di Hilbert. Lemma di Gronwall. Teorema di Cauchy-Lipschitz-Picard. Operatori massimali monotoni e loro proprietà. Risolvente e regolarizzata Yosida di un operatore massimale monotono e loro proprietà. Teorema di Hille-Yosida. Autoaggiunto di un operatore non limitato su uno spazio di Hilbert. Teorema di Hille-Yosida per un operatore non limitato autoaggiunto su uno spazio di Hilbert. Spazi di Sobolev e formulazione variazionale di un problema ai limiti in dimensione uno. Derivabilità del senso di Gâteaux e nel senso di Fréchet. Lo spazio di Sobolev W1,p(]a,b[). Completezza, riflessività e separabilità di W1,p(]a,b[). Lo spazio W01,p(]a,b[). Un problema ordinario ai limiti del secondo ordine.

Course Syllabus

Totally bounded metric spaces. Characterization of compact metric spaces. Metric of uniform convergence. Space of bounded functions. Characterization of the total boundedness of a family of functions. Family of equi uniformly continuous functions. Ascoli-Arzelà theorem. Peano's theorem for the Cauchy problem. Locally convex topological vector spaces. Finite-dimensional normed spaces. Riesz lemma. Riesz characterization of the finite-dimensionality of a normed space. Linear operators between normed spaces. The space of continuous linear operators between two normed spaces. Topological dual of a normed space. The open mapping theorem. The continuous inverse theorem. The theorem of the two norms. The closed graph theorem. Osgood lemma. The principle of uniform boundedness. The Banach-Steinhaus theorem. Hahn-Banach theorem and its consequences. Pairs of separate sets. Separation theorems. The σ topology of a vector space. The σ topology on a total subspace of the dual of a vector space. The weak topology of a Housdorff locally convex topological vector space. Canonical map and its properties. Weak star topology. Polar and their properties. The theorem of bipolar. The theorem of Banach-Alaoglu. Goldstine's Theorem. Reflexive Banach spaces. The characterizations of Kakutani and James of reflexive Banach spaces. Uniformly convex spaces. Milman-Pettis theorem. Hilbert spaces. Projection theorem. The Riesz theorem on the representation of linear continuous functional in Hilbert spaces. Outline of variational inequalities. Stampacchia theorem. Lax-Milgram theorem. Orthonormal sets. Fourier series in Hilbert space. Bessel's inequality. Parseval's identity. Riesz-Fischer theorem. Existence of orthonormal bases for separable Hilbert spaces. Spaces L^p (1≤p≤∞). Hölder inequality. Clarkson inequalities. Topological dual of L^p spaces. Reflexivity of the spaces L^p. Some density theorems in the spaces L^p. Separability of the spaces L^p. Convolution product. Supports and their properties. Mollifiers. Using mollifiers in convolution product. Criterion of strong compactness in L^p: Theorem of Riesz-Fréchet-Kolmogorov. Orthogonality in Banach spaces. Unbounded linear operators. Core, rank and graph of an operator. Adjoint of an operator and its properties. Compact operators. Schauder theorem on the adjoint operator. The theory of Riesz-Fredholm. Resolvent, spectrum and eigenvalues ​​of an operator. Spectrum of a compact operator. Self-adjoint linear operators on Hilbert spaces. Symmetric operators. Spectral decomposition of compact self-adjoint compact operators on Hilbert spaces. Gronwall's Lemma. Cauchy-Lipschitz-Picard theorem. Maximal monotone operators and their properties. Yosida regularized and Yosida resolvent of a maximal monotone operator and their properties. Hille-Yosida theorem. Self-adjoint operator of an unbounded operator on a Hilbert space. Hille-Yosida theorem for an unbonded self-adjoint operator on a Hilbert space. Sobolev spaces and variational formulation of a boundary value problem in one dimension. Derivative in the sense of Gâteaux and in the sense of Fréchet. The Sobolev space W1,p(]a,b[). Completeness, reflexivity and separability of W1,p(]a,b[). The space W01,p(]a,b[). An ordinary boundary value problem of second order.