Obiettivi Formativi

Scopo del corso e fornire gli strumenti conoscitivi di calcolo delle probabilita, delle variabili aleatorie e di statistica descrittiva. Vengono inoltre trattati esempi ed applicazione in vari ambiti.

Prerequisiti

Conoscenze di base di analisi matematica.

Programma del Corso

Fenomeni deterministici e fenomeni aleatori. Differenti definizioni di probabilità. Impostazione classica. Impostazione frequentista. Impostazione soggettiva. Pregi e difetti delle tre differenti impostazioni. Impostazione assiomatica. Elementi di Teoria astratta della misura. Anelli, algebre, σ-algebre e loro proprietà. Traccia di una σ-algebra. Generatori di una σ-algebra. Boreliani di uno spazio topologico. Boreliani di R^h. Contenuti, premisure e loro proprietà. Condizioni necessarie e sufficienti affinchè un contenuto sia una premisura. Misure e loro proprietà. Teorema di prolungamento di premisure. Funzioni di distribuzione su R e su R^h. Misura associata ad una funzione di distribuzione su R e su R^h. Teoria assiomatica della Probabilità. Spazio campionario. Spazi campionari discreti. Spazi campionari continui. Eventi elementari. Eventi. Probabilità. Spazio di probabilità. Proprietà della probabilità. Principio di inclusione-esclusione di Poincarè. Costruzione di uno spazio di probabilità finito. Spazi equiprobabili. Campionamento da urne con rimpiazzo e senza rimpiazzo. Costruzione di uno spazio di probabilità numerabile. Esempi notevoli. Costruzione di uno spazio di probabilità continuo. Probabilità condizionata. Legge delle probabilità composte. Teorema della probabilità totale. Teorema di Bayes. Applicazione ai test clinici. Indipendenza di eventi. Prove di Bernoulli. Variabili aleatorie. Funzione di ripartizione di una variabile aleatoria e sue proprietà. Variabili aleatorie discrete. Densità discreta di una variabile aleatoria discreta. Variabili aleatorie assolutamente continue. Densità di una variabile aleatoria assolutamente continua. Alcune densità discrete di probabilità notevoli: uniforme discreta, binomiale, bernoulliana, Poisson, geometrica, ipergeometrica. Alcune densità continue di probabilità notevoli: uniforme continua, esponenziale, gaussiana standard, normale. Variabile aleatoria condizionata. Funzioni di variabile aleatoria. Valore atteso o media di una variabile aleatoria. Valore atteso di funzioni di variabile aleatoria. Varianza e deviazione standard di una variabile aleatoria. Calcolo della media e della varianza di tutti gli esempi notevoli di variabili aleatorie discrete e assolutamente continue. Disuguaglianza di Markov. Disuguaglianza di Chebychev. Legge dei tre σ. Standardizzazione di una variabile aleatoria. Approssimazione gaussiana della funzione di ripartizione binomiale. Variabili aleatorie indipendenti. Vettori aleatori. Funzione di ripartizione congiunta. Funzione di ripartizione marginale. Vettori aleatori discreti. Vettori aleatori assolutamente continui. Esempi notevoli di vettori aleatori discreti e assolutamente continui. Funzioni di vettori aleatori discreti. Funzioni di vettori aleatori assolutamente continui. Valore atteso di funzioni di vettori aleatori. Covarianza e coefficiente di correlazione. Matrice di covarianza. Vettori gaussiani. Convergenza di variabili aleatorie. Successioni di variabili aleatorie. Convergenza in distribuzione. Convergenza in probabilità. Convergenza in media quadratica. Legge debole dei grandi numeri. Legge forte dei grandi numeri. Metodo di integrazione Monte Carlo. Teorema centrale del limite. Statistica descrittiva. Distribuzioni di frequenza. Grafici delle distribuzioni di frequenza. Indici di posizione e di dispersione. Calcolo di media e varianza per dati raggruppati. Forma di una distribuzione. Correlazione fra variabili. Metodo dei minimi quadrati. Regressione lineare. Regressione polinomiale. Metodi di linearizzazione.