Obiettivi Formativi

Il corso si pone come obiettivo di rafforzare le conoscenze algebriche degli allievi, in particolare sulle strutture di gruppo, anello, campo ed intende presentare nozioni e risultati che, oltre alla loro importanza intrinseca, siano di supporto agli altri insegnamenti di contenuto algebrico - geometrico.

Learning Goals

The course aims to strengthen students’ algebraic knowlwdge, particularly on group, ring, field structures and intends to present concepts and results which, in addition to their intrinsic importance, support the other teachings of algebraic-geometric content.

Metodi didattici

Lezioni frontali ed esercitazioni in aula

Teaching Methods

Lectures and classroom exercises

Prerequisiti

Nessuno

Prerequisites

Nothing

Verifiche dell'apprendimento

L'esame finale consisterà in una prova scritta ed una prova orale. Durante il corso saranno svolte due o tre prove in itinere che, se superate, sostituiranno la prova scritta finale.

Assessment

The final exam consists of a written test and an oral test. During the course two or three tests will be carried out that, if passed, will replace the final written test.

Programma del Corso

Teoria degli insiemi: Insiemi. Operazioni sugli insiemi. Corrispondenze. Applicazioni. Relazione di equivalenza. Insieme quoziente. Relazione di ordine. Insiemi ordinati. Prodotto cartesiano di una famiglia di insiemi. Assioma della scelta. Potenza di un insieme. Numeri cardinali. Insiemi infiniti. Potenza del numerabile e del continuo. Potenza degli insiemi {0, 1}N, NN. Strutture algebriche: Operazioni. Parti stabili. Leggi indotte. Leggi associative, leggi commutative. Elemento neutro. Elementi regolari. Congruenze. Operazione quoziente. Relazioni tra leggi di composizione. Semigruppi. Monoidi. Gruppi. Anelli. Corpi. Campi. Numeri naturali, interi. Numeri naturali. Assioma del buon ordinamento. Principio di induzione. Divisione e divisibilità in Z. Esistenza del M.C.D. e m.c.m . Algoritmo di Euclide per la ricerca del M.C.D. Identità di Bezout. Elementi primi. Elementi irriducibili. L’anello delle classi resto modulo un intero n>1. Elementi invertibili e zero divisori in Zn. Congruenze lineari in una indeterminata: criterio di risolubilità, ricerca di soluzioni. Sistemi di congruenze lineari. Teorema cinese del resto. Teoria dei gruppi: Gruppi. Esempi di gruppi. Gruppi classici. Sottogruppi. Equivalenze in un gruppo. Classi laterali. Teorema di Lagrange. Sottogruppi normali. Operazioni tra sottogruppi. Gruppo quoziente. Centro di un gruppo. Elementi coniugati. Teoremi di omomorfismo. Gruppi ciclici. Periodo di un elemento. Gruppo simmetrico su n elementi. Gruppi di trasformazioni. Gruppi diedrali. Endomorfismi, automorfismi, automorfismi interni. Gruppo degli automorfismi di un gruppo. Anello degli automorfismi di un gruppo abeliano. Sottogruppi pienamente invarianti, caratteristici, normali. Automorfo di un gruppo. Normalizzante e centralizzante di un sottogruppo. Coniugio tra elementi e tra sottogruppi. Equazione delle classi. Centro di un gruppo. Laterali doppi e teorema di Frobenius Teoremi di Sylow ed applicazioni. Gruppi abeliani liberi. Gruppi abeliani finitamente generati e teorema di struttura. Teoria degli anelli: Anelli. Sottoanelli. Corpi. Ideali di un anello. Equivalenze in un anello. Anello quoziente. Omomorfismi di anelli. Teoremi di omomorfismo. Ideali primi. Ideali massimali. Teorema di Krull. L'anello Z ed i suoi quozienti. Anelli dei polinomi: Polinomi su un anello. Algoritmo della divisione per polinomi su un campo e su un anello. Polinomi a coefficienti su un campo. Esistenza ed unicità del M.C.D. monico. Identità di Bézout. Radici e fattorizzazioni in Z[X] e Q[X].

Course Syllabus

Set theory: Sets and operations - Mappings – Order and Equivalence Relations - Quotient sets – Ordered sets – Axiom of choice – Cardinality – Cardinal numbers - Finite and infinite sets - Countable sets – Continuum Algebraic structures: Binary operations and their properties – Semigroups – Monoids – Groups – Rings – Fields The integers – Congruences – Greatest common divisor – Group theory: Normal subgroups – Isomorphism theorems for groups – The symmetric group – Dihedral groups – Cyclic groups – Direct product of groups – Sylow’s theorems – Free abelian groups – Finitely generated abelian groups Ring theory: Rings – Ideals and homomorphisms – Quotient rings - Isomorphism theorems for rings – Integral domains – Prime and maximal ideals - Polynomials – Polynomials over a ring and over a field – Factoring in Z[X] e Q[X].