Obiettivi Formativi

Calcolo differenziale per funzioni scalari e vettoriali di più variabili reali. Integrazione multipla. Serie di funzioni.

Learning Goals

Differential calculus for scalar and vector valued functions of n real variables. Multiple integration. Function series.

Metodi didattici

Lezioni frontali ed esercitazioni

Teaching Methods

Lessons and exercises

Prerequisiti

Calcolo differenziale e integrale per funzioni reali di una variabile reale. Algebra lineare. Curve piane.

Prerequisites

Differential and integral calculus for real functions of one real variable. Linear algebra. Plane curves.

Verifiche dell'apprendimento

I CFU saranno acquisiti dallo studente con il superamento di una prova scritta e di una prova orale.

Assessment

CFU are gained by the student who pass a written examination and an oral test.

Programma del Corso

CALCOLO DIFFERENZIALE PER CAMPI SCALARI E VETTORIALI Spazio euclideo R^n. Vettori di R^n. Distanza e norma. Sottoinsiemi di R^n: intervalli e intorni; punti interni, esterni e di frontiera; punti isolati e punti di accumulazione; insiemi aperti e chiusi; insiemi limitati; insiemi compatti e connessi. Funzioni da R^n in R^m. Campi scalari e vettoriali. Campi vettoriali di una variabile reale: dominio, immagine, grafico, limiti, continuità, derivate. Campi scalari e vettoriali di n variabili: dominio, immagine, grafico, curve di livello, limiti, continuità. Derivate parziali e derivate direzionali di campi scalari di n variabili. Differenziale del primo ordine di un campo scalare di n variabili. Differenziabilità, derivabilità e continuità. Gradiente di un campo scalare. Matrice jacobiana, divergenza e rotore di un campo vettoriale. Derivate parziali di ordine superiore. Matrice hessiana. Teorema di Schwarz. Differenziali di ordine superiore di campi scalari. Formula di Taylor per funzioni scalari. Massimi e minimi relativi, vincolati e assoluti di funzioni scalari. INTEGRAZIONE MULTIPLA Integrali doppi. Significato geometrico dell’integrale doppio. Proprietà dell’integrale doppio. Calcolo di integrali doppi su intervalli. Cambiamento di variabili negli integrali doppi: coordinate polari. Integrali doppi impropri di funzioni limitate su domini illimitati. Integrali tripli. Proprietà dell’integrale triplo. Calcolo di integrali tripli su intervalli. Cambiamento di variabili negli integrali tripli: coordinate cilindriche e sferiche. Integrali tripli impropri di funzioni limitate su domini illimitati. SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI Successioni e serie numeriche. Successioni e serie di funzioni. Convergenza puntuale e uniforme e teoremi principali. Serie di potenze in campo reale ed in campo complesso. Raggio di convergenza. Serie di Taylor. Serie di Fourier.

Course Syllabus

DIFFERENTIAL CALCULUS FOR SCALAR AND VECTOR FIELDS The Euclidean space R^n. Vectors of R^n. Distance and norm. Subsets of R^n: intervals and neighbourhoods; internal, external and boundary points; isolated and limit points; open and closed sets; bounded sets; compact and connected sets. Functions from R^n to R^m. Scalar and vector valued functions (fields). Vector fields of one variable: domain, image, graph, limits, continuity, derivatives. Scalar and vector fields of n variables: domain, image, graph, level curves, limits, continuity. Partial derivatives and directional derivatives of scalar fields of n variables. First order differential of a scalar field of n variables. Differentiability, existence of partial derivatives and continuity. Gradient of a scalar field. Jacobian matrix, divergence and curl of a vector field. Higher-order partial derivatives. Hessian matrix. Schwarz theorem. Higher-order differentials of scalar fields. Taylor formula. Local, constrained and global extrema of scalar fields. MULTIPLE INTEGRATION Double integrals and their properties. Geometric interpretation of double integrals. Double integrals on intervals. Change of variables in double integrals: polar coordinates. Generalized double integrals of bounded functions on unbounded domains. Triple integrals and their properties. Triple integrals on intervals. Change of variables in triple integrals: cylindrical and polar coordinates. Generalized integrals of bounded functions on unbounded domains. FUNCTION SEQUENCES AND SERIES Sequences and series. Sequences and series of functions. Pointwise and uniform convergence, and main theorems. Real and complex power series. Radius of convergence. Taylor series. Fourier series.