Obiettivi Formativi

Fornire conoscenze su: variabile complessa – integrazione campo complesso – trasformate integrali di Fourier e di Laplace – funzioni generalizzate – equazioni differenziali alle derivate parziali – autovalori ed autovettori.

Learning Goals

To provide knowledge of: complex argument - integral calculus of functions of a complex variable - Fourier analysis - Laplace transforms - generalized functions – partial differential equations - eigenvalues and eigenvectors

Prerequisiti

Funzioni di una variabile reale. Calcolo differenziale. Integrazione di Riemann. Eq. differenziali ordinarie. Spazi vettoriali. Matrici e determinanti. Sistemi di equazioni lineari. Spazi euclidei. Funzioni reali di più variabili. Integrali doppi e tripli.

Prerequisites

Functions of real argument. Differential calculus. Riemann integrals. ODE. Matrix algebra. Determinants. Systems of linear equations. Euclidean space. Real Functions of more arguments. Double and triple integrals.

Programma del Corso

Numeri Complessi Definizione di numero complesso. Operazioni con numeri complessi. Definizioni assiomatica dei numeri complessi. Forma trigonometrica dei numeri complessi. Teorema di De Moivre. Radici di numeri complessi. Radici ennesime dell’unità. Interpretazione vettoriale dei numeri complessi. Prodotto scalare e prodotto vettoriale. Funzioni di Variabili complesse e funzioni. Funzioni a un sol valore e a più valori. Inversa. Funzioni elementari. Punti e rette di diramazione Superfici di Riemann. Limiti e teoremi relativi. Continuità. Derivate. Funzione analitiche. Condizione di Cauchy Riemann. Funzioni armoniche. Operatori differenziali. Integrazione complessa Integrali di linea nel campo complesso. Relazioni con gli integrali di linea reali. Regioni connesse. Teorema di Green nel piano e sua forma complessa. Teorema di Cauchy. Integrali indefiniti. Conseguenze del teorema di Cauchy. Formula di Cauchy. Teoremi connessi alla formula di Cauchy. Serie di funzioni complesse Successioni di funzioni. Convergenza. Serie di Taylor e di Laurent. Classificazione delle singolarità. Funzioni intere. Prolungamento analitico. Residuo e suo calcolo. Teorema dei residui. Calcolo di integrali definiti. Calcolo di integrali reali usando il teorema dei residui. Trasformata di Laplace.Definizione. Regione di convergenza. Trasformate elementari. Teoremi sulla trasformata. Trasforma inversa. Uso della trasformata per risolvere equazioni differenziali. Trasformata di Fourier Funzioni periodiche. Analisi di Fourier. Analisi di Fourier in forma complessa. Funzioni periodiche di periodo arbitrario. Trasformata di Fourier. Teoremi sulla trasformata di Fourier. Funzioni generalizzate. Spazi vettoriali lineari. Base e cambiamento di base. Disuguaglianza di Cauchy-Schwartz. Operatori lineari. Autoaggiunti. Hermitiani. Unitari. Inversi. Teorema di ortogonalità. Autovettori ed autovalori. Algebra delle matrici. Teorema di Hamilton-Cayley. Sottospazi vettoriali.

Course Syllabus

Complex Numbers Definition of complex number. Operations with complex numbers. Axiomatic definition of complex numbers. Trigonometric form of complex numbers. De Moivre's Theorem. Roots of complex numbers. Nth root of unity. Vector interpretation of complex numbers. Scalar product and vector product. Functions Complex variables and functions. Functions to a single value and multiple values. Reverse function. Elementary functions. Points and lines of Branch Riemann surfaces. Limits and theorems. Continuity. Derived. Analytical function. Cauchy Riemann condition. Harmonic functions. Differential operators. Complex integration Line integrals in the complex field. Relations with the real line integrals. Connected regions. Green’s theorem in plan and its complex shape. Cauchy's theorem. Indefinite integrals. Consequences of Cauchy's theorem. Cauchy formula. Theorems related to the Cauchy formula. Series of complex functions Sequences of functions. Convergence. Taylor and Laurent series. Classification of singularities. Entire functions. Analytic continuation. Residual and its calculation. Residual theorem. Calculation of definite integrals. Calculation of real integrals using the residual theorem. Laplace transform Definition. Convergence region. Turn elementary. Theorems on Lapalce transform. Inverse transform. Using the transform to solve differential equations. Fourier transform Periodic functions. Fourier analysis. Fourier analysis in complex form. Periodic functions of arbitrary period. Fourier transform. Theorems on the Fourier transform. Generalized functions. Vector linear space. Metric space. Basis of a VLS. Cauchy-Schwartz inequality. Linear operator. Hermitian, Unitary, Adjoint operators. Orthogonality theorem. Eigenvalues and eigenvectrors. Hamilton-Cayley theorem. Vector subspaces.