Obiettivi Formativi

Fornire conoscenze su: strumenti dell’Analisi Matematica peculiarmente finalizzati e proposti in forma adeguata allo studio dei fenomeni fisici. In particolare: funzioni di più variabili – derivate parziali – integrali multipli – integrali di linea e di superficie – successioni e serie di funzioni – sviluppi in serie.

Learning Goals

Provide knowledge of: tools of mathematical analysis peculiarly finalized and presented in a form appropriate to study physical phenomena. In particular: functions of several variables - partial derivatives – multiple integrals - line and surface integrals - sequences and series of functions – series expansions.

Metodi didattici

Lezioni frontali. Esercitazioni

Teaching Methods

Lessons. Exercises

Prerequisiti

Un fondamentale prerequisito è la conoscenza dei contenuti del corso di Matematica I.

Prerequisites

A fundamental prerequisite is the knowledge of the course content of Mathematics I.

Verifiche dell'apprendimento

Esame scritto e orale

Assessment

Written and oral exam

Programma del Corso

Cenni di topologia in R^n . Distanza e norma. Punti interni, esterni e di frontiera. Punti isolati e punti di accumulazione. Insiemi aperti e chiusi. Intorni sferici. Insiemi limitati. Insiemi compatti e connessi. Funzioni a valori vettoriali funzioni a valori vettoriali, limiti e continuità. Derivata. Integrale. Curve in R^n . Curva e sostegno di una curva in R^2 e in R^3 . Curve regolari, regolari a tratti. Rappresentazione parametrica di una curva. Curve rettificabili e lunghezza. Cambiamenti di parametrizzazione e curve equivalenti. Ascissa curvilinea. Integrali curvilinei di 1a specie. Proprietà degli integrali curvilinei di 1a specie. Geometria differenziale delle curve in R^3: curvatura, torsione, triedro di Frenet e formule di Frenet-Serret. Applicazioni geometriche e fisiche dell’integrale curvilineo di 1^a specie. Funzioni reali di più variabili Funzioni reali di più variabili: dominio, immagine, grafico, limiti e continuità. Calcolo dei limiti in più variabili. Proprietà delle funzioni continue. Derivate direzionali e derivate parziali. Derivabilità e continuità. Differenziale del primo ordine di un campo scalare. Differenziabilità e derivabilità e continuità. Condizione sufficiente per la differenziabilità. Derivate parziali di ordine superiore. Matrice hessiana. Teorema di Schwarz. Massimi e minimi relativi liberi. Teorema di Fermat. Studio della natura dei punti critici. Funzioni definite implicitamente. Funzioni definite implicitamente. Vincoli. Teoremi del Dini. Massimi e minimi vincolati. Metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Massimi e minimi assoluti. Integrali doppi e tripli. Integrale di funzione limitata definita su un rettangolo. Funzioni integrabili su domini non rettangolari. Insiemi semplici, regolari e misurabili. Significato geometrico dell’integrale doppio. Proprietà elementari dell’integrale doppio. Calcolo dell’integrale doppio: metodo di riduzione; cambiamento di variabili. Calcolo degli integrali tripli. Applicazioni geometriche e fisiche. Campi vettoriali Linee di campo. Gradiente, rotore e divergenza. Integrale di linea di un campo vettoriale. Lavoro e circuitazione. Campi irrotazionali. Insiemi semplicemente connessi. Campi solenoidali e potenziale vettore. Formule di Gauss-Green nel piano. Superfici in R^3 Superficie e sostegno di una superficie. Superfici regolari e regolari a tratti. Rappresentazione parametrica di una superficie. Sistemi di coordinate curvilinee su una superficie e vettori tangenti. Superfici orientate. Versore normale. Area di una superficie. Integrale di superficie di una funzione continua. Superfici orientate. Superfici regolari. Flusso di un vettore attraverso una superficie. Teorema della divergenza. Teorema del rotore. Successioni e serie di funzioni Successioni di funzioni. Convergenza puntuale ed uniforme. Passaggio al limite sotto il segno di derivata e di integrale. Serie di funzioni. Convergenza puntuale, uniforme, assoluta e totale. Derivazione ed integrazione per serie. Serie di potenze. Raggio ed insieme di convergenza. Funzioni analitiche e serie di Taylor. Sviluppi notevoli

Course Syllabus

Notes of topology in Rn. Distance and norm. Internal and external and border points. Isolated points and accumulation points. Open and closed sets. Spherical surface. Limited sets. Compact and connected sets. Vector-valued functions, limits and continuity. Derivates Integrals. Curves in Rn. Curve and support of a curve in R2 and R3. Smooth curves. Parametric representation of a curve. Rectifiable curves and length. Changes in parameters and equivalent curves. Curved axis. Integrals of the first species. Integrals property of the first species. Differential geometry of curves in R3: bending, twisting, trihedron of Frenet-Serret Frenet's formulas. Geometric and physical applications of the curved integral of the first species. Real functions of several variables: domain, image, graphic, and limits continuity. Calculation of limit in more variables. Properties of continuous functions. Directional derivatives and partial derivatives. Differentiability and continuity. First order differential of a scalar field. Differentiability and continuity and differentiability. Sufficient condition for differentiability. Higher order partial derivatives. Hessian matrix. Schwarz theorem. Free relative maxima and minima. Fermat's theorem. Study of the nature of critical points. Implicitly defined functions. Constraints. Dini's theorem. Bound maximum and minimum of a scalar field. Method of Lagrange multipliers. Absolute maxima and minimum. Double and triple integrals. Integral limited function defined on a rectangle. Integrable functions of non-rectangular domains. Simple, regular and measurable sets. Geometric meaning of the double integral. Elementary properties of the double integral. Calculation of the doubleintegral: reduction method; change of variables. Calculation of triple integrals. Geometric and physical applications. Vector fields. Field lines. Gradient, rotor and divergence. Line integral of a field vector. Work and circuitry. Irrotational fields. Simply connected sets. Solenoid fields and the vector potential. Differential forms. Gauss-Green formulas in the plan. Surfaces in R3. Surfaces and support of a surface. Smooth surfaces. Parametric representation of a surface. Coordinate systems on a curved surface and tangent vectors. Oriented surfaces. Normal unit vector. Area of a surface. Surface integral of a continuous function. Oriented surfaces. Smooth surfaces. Flow of a vector through a surface. Divergence theorem. Rotor theorem. Sequences and series of functions. Sequences of functions. Pointwise and uniform convergence. Limit under the sign of the derivative and integral. Series of functions. Pointwise, uniform, absolute and total convergence. Derivation and integration for the series. Power series in the real and complex field. Radius and set of convergence. Taylor’s series and analytic functions. Significant developments