Obiettivi Formativi

Fornire conoscenze su: numeri reali e complessi - successioni numeriche – limiti – serie numeriche – funzioni – derivate – massimi e minimi – formula di Taylor – integrali di funzioni ad una variabile – aree e funzioni primitive – equazioni differenziali. Fare acquisire agli studenti un’adeguata conoscenza e comprensione dei principi teorici tali da costituire un fondamento per le scienze fisiche e che stanno alla base delle realtà applicative della fisica; Fare acquisire agli studenti adeguati metodi di studio, di descrizione e di indagine scientifica; Fare sviluppare la capacità di applicare in maniera autonoma le nozioni teoriche per impostare, analizzare e risolvere problemi teorici anche complessi.

Learning Goals

Knowledge on: real and complex numbers –numerical sequences – limits – numerical series– functions – derivatives – maximum and minimum –Taylor’s formula – integrals of functions with one variable – areas and primitive functions – differential equations.

Metodi didattici

Lezioni frontali, esercitazioni Lavagna, lavagna luminosa, proiettore per PC Ricevimento studenti: ogni martedì e giovedì ore 11,45 presso studio al Dipartimento di Fisica o fissando altro appuntamento via email.

Teaching Methods

Blackboard, overhead projector, PC projector http://ww2.unime.it/cdlfisica/ Tuesday and thursday at 11,45, office at Fisica Department or setting another appointment via email.

Prerequisiti

IL SISTEMA DEI NUMERI REALI Proprietà elementari dei Numeri Reali - Assioma di Dedekind - Valore assoluto – Estremo superiore ed inferiore di un insieme di Numeri Reali - La topologia della retta reale e teoremi relativi - Elementi di calcolo combinatorio. IL CAMPO DEI NUMERI COMPLESSI Generalità sui Numeri Complessi - Potenze e radici di un numero complesso - Equazioni in campo complesso. SUCCESSIONI E SERIE NUMERICHE Definizioni - Limite di una successione - Teoremi fondamentali sui limiti - Operazioni con i limiti - Limiti di successioni monotone - Il numero e - Massimo e minimo limite - Successioni e topologia e teoremi relativi - Insiemi compatti - Serie numeriche - Criteri di convergenza per le serie numeriche - Cenni sulle successioni e serie complesse. FUNZIONI DI UNA VARIABILE REALE E LORO LIMITI Generalità - Funzioni elementari: esponenziali, logaritmiche, trigonometriche, iperboliche -Limiti di funzioni reali - Teoremi fondamentali sui limiti - Limiti fondamentali - Operazioni con i limiti - Funzioni continue e teoremi relativi - Uniforme continuità e teoremi relativi. CALCOLO DIFFERENZIALE PER LE FUNZIONI DI UNA VARIABILE REALE Definizione di derivata e significato geometrico - Teoremi per il calcolo differenziale - Differenziale di una funzione - Derivate delle funzioni elementari - Operazioni con le derivate - Teoremi e applicazioni del calcolo differenziale per lo studio di una funzione - Teoremi di Rolle, Cauchy, Lagrange e conseguenze - Teoremi di De Hopital e applicazioni - Formula di Taylor e applicazioni - Cenni sulla serie di Taylor - Funzioni concave e convesse. L'INTEGRALE DI RIEMANN PER LE FUNZIONI DI UNA VARIABILE REALE Integrali indefiniti - Regole di integrazione - Integrazione per decomposizione, per parti, per sostituzione - Integrazione delle funzioni razionali - Integrali riducibili ad integrali di funzioni razionali - L'integrale secondo Riemann - Condizione di inntegrabilità - Teoremi sulle funzioni integrabili - Teorema fondamentale del calcolo integrale - Integrale secondo Mengoli-Cauchy - Applicazioni degli integrali al calcolo di aree, lunghezze e volumi - Integrali generalizzati - Criteri di convergenxa per integrali generalizzati. EQUAZIONI DIFFERENZIALI Generalità e definizioni - Integrazione di equazioni differenziali del primo ordine in forma normale e non normale - Integrazione di alcuni tipi di equazioni differenziali del secondo ordine - Equazioni differenziali ordinarie di ordine n ed in particolare a coefficienti costanti e loro integrazione - Integrazione di equazioni differenziali di Eulero.

Prerequisites

The systems of real numbers Elementary properties of Real Numbers - Dedekind axiom - Absolute value - Extreme top and bottom of a set of Real Numbers - The topology of the real line and theorems - Elements of combinatorics. THE FIELD OF COMPLEX NUMBERS General information on Complex Numbers - Powers and roots of a complex number - Equations in complex field. NUMERICAL SUCCESSIONS AND SERIES Definitions - Limit of a sequence - the fundamental theorems on limits - Working with limits - Limits of monotone sequences - The number and - Maximum and minimum limits - Sequences and topology and theorems - compact sets - Numerical series - Convergence criteria for numerical series – Notes on complex sequences and series. FUNCTIONS OF A REAL VARIABLE AND THEIR LIMITS General - Elementary functions: exponential, logarithmic, trigonometric, hyperbolic – limits of real functions - Fundamental theorems on limits - Fundamental Limits - Working with limits - Continuous functions and theorems - Uniform continuity and theorems. DIFFERENTIAL CALCULUS FOR FUNCTIONS OF A REAL VARIABLE Definition of derivative and geometric meaning - theorems for differential calculus - differential of a function - Derivatives of elementary functions - Work with the derivatives - Applications to theorems of differential calculus for the study of a function - Rolle's, Cauchy’s, Lagrange’s theorems and consequences – De Hopital’s theorem and applications - Taylor's formula and applications - Notes on the Taylor series - Concave and convex functions. THE RIEMANN INTEGRAL FOR THE FUNCTIONS OF A REAL VARIABLE Indefinite integrals - Rules of Integration - Integration by decomposition, by parts, for replacement - Integration of Rational Functions - Integrals reducible to integrals of rational functions - Integral Riemann – integrability condition - Theorems on integrable functions - Fundamental Theorem of Calculus – Integral by Cauchy-Mengoli - Applications of integrals to calculate areas, lengths and volumes - integrals - Convergence criteria for generalized integrals. DIFFERENTIAL EQUATIONS Generalities and definitions - Integration of first order differential equations in normal form and not normal - Integration of some types of second-order differential equations - Ordinary differential equations of order n and in particular with constant coefficients and their integration - Integration of Euler differential equations.

Verifiche dell'apprendimento

1. Tre test intermedi per verificare che lo studente stia effettivamente seguendo il corso. 2. Chi supera tutti i test può accedere direttamente all’orale. Chi non ha superato tutti i test per accedere all’orale dovrà svolgere (e superare) un compito scritto sugli argomenti relativi al test (o ai test) non superato/i. 3. Il voto finale terrà conto , oltre che della prova orale, dei voti ottenuti nei test e nell’eventuale prova scritta.

Assessment

1. Three tests to verify that the student is actually following the course. 2 Those who pass all tests can go directly to the oral. Who has not passed all tests to access to oral will have play (and pass) your written work on topics related to the test (or tests) not passed. 3. The final vote will take into account, in addition to the oral test, the marks obtained in written tests.

Programma del Corso

IL SISTEMA DEI NUMERI REALI Proprietà elementari dei Numeri Reali - Assioma di Dedekind - Valore assoluto – Estremo superiore ed inferiore di un insieme di Numeri Reali - La topologia della retta reale e teoremi relativi - Elementi di calcolo combinatorio. IL CAMPO DEI NUMERI COMPLESSI Generalità sui Numeri Complessi - Potenze e radici di un numero complesso - Equazioni in campo complesso. SUCCESSIONI E SERIE NUMERICHE Definizioni - Limite di una successione - Teoremi fondamentali sui limiti - Operazioni con i limiti - Limiti di successioni monotone - Il numero e - Massimo e minimo limite - Successioni e topologia e teoremi relativi - Insiemi compatti - Serie numeriche - Criteri di convergenza per le serie numeriche - Cenni sulle successioni e serie complesse. FUNZIONI DI UNA VARIABILE REALE E LORO LIMITI Generalità - Funzioni elementari: esponenziali, logaritmiche, trigonometriche, iperboliche -Limiti di funzioni reali - Teoremi fondamentali sui limiti - Limiti fondamentali - Operazioni con i limiti - Funzioni continue e teoremi relativi - Uniforme continuità e teoremi relativi. CALCOLO DIFFERENZIALE PER LE FUNZIONI DI UNA VARIABILE REALE Definizione di derivata e significato geometrico - Teoremi per il calcolo differenziale - Differenziale di una funzione - Derivate delle funzioni elementari - Operazioni con le derivate - Teoremi e applicazioni del calcolo differenziale per lo studio di una funzione - Teoremi di Rolle, Cauchy, Lagrange e conseguenze - Teoremi di De Hopital e applicazioni - Formula di Taylor e applicazioni - Cenni sulla serie di Taylor - Funzioni concave e convesse. L'INTEGRALE DI RIEMANN PER LE FUNZIONI DI UNA VARIABILE REALE Integrali indefiniti - Regole di integrazione - Integrazione per decomposizione, per parti, per sostituzione - Integrazione delle funzioni razionali - Integrali riducibili ad integrali di funzioni razionali - L'integrale secondo Riemann - Condizione di inntegrabilità - Teoremi sulle funzioni integrabili - Teorema fondamentale del calcolo integrale - Integrale secondo Mengoli-Cauchy - Applicazioni degli integrali al calcolo di aree, lunghezze e volumi - Integrali generalizzati - Criteri di convergenxa per integrali generalizzati. EQUAZIONI DIFFERENZIALI Generalità e definizioni - Integrazione di equazioni differenziali del primo ordine in forma normale e non normale - Integrazione di alcuni tipi di equazioni differenziali del secondo ordine - Equazioni differenziali ordinarie di ordine n ed in particolare a coefficienti costanti e loro integrazione - Integrazione di equazioni differenziali di Eulero.

Course Syllabus

The systems of real numbers Elementary properties of Real Numbers - Dedekind axiom - Absolute value - Extreme top and bottom of a set of Real Numbers - The topology of the real line and theorems - Elements of combinatorics. THE FIELD OF COMPLEX NUMBERS General information on Complex Numbers - Powers and roots of a complex number - Equations in complex field. NUMERICAL SUCCESSIONS AND SERIES Definitions - Limit of a sequence - the fundamental theorems on limits - Working with limits - Limits of monotone sequences - The number and - Maximum and minimum limits - Sequences and topology and theorems - compact sets - Numerical series - Convergence criteria for numerical series – Notes on complex sequences and series. FUNCTIONS OF A REAL VARIABLE AND THEIR LIMITS General - Elementary functions: exponential, logarithmic, trigonometric, hyperbolic – limits of real functions - Fundamental theorems on limits - Fundamental Limits - Working with limits - Continuous functions and theorems - Uniform continuity and theorems. DIFFERENTIAL CALCULUS FOR FUNCTIONS OF A REAL VARIABLE Definition of derivative and geometric meaning - theorems for differential calculus - differential of a function - Derivatives of elementary functions - Work with the derivatives - Applications to theorems of differential calculus for the study of a function - Rolle's, Cauchy’s, Lagrange’s theorems and consequences – De Hopital’s theorem and applications - Taylor's formula and applications - Notes on the Taylor series - Concave and convex functions. THE RIEMANN INTEGRAL FOR THE FUNCTIONS OF A REAL VARIABLE Indefinite integrals - Rules of Integration - Integration by decomposition, by parts, for replacement - Integration of Rational Functions - Integrals reducible to integrals of rational functions - Integral Riemann – integrability condition - Theorems on integrable functions - Fundamental Theorem of Calculus – Integral by Cauchy-Mengoli - Applications of integrals to calculate areas, lengths and volumes - integrals - Convergence criteria for generalized integrals. DIFFERENTIAL EQUATIONS Generalities and definitions - Integration of first order differential equations in normal form and not normal - Integration of some types of second-order differential equations - Ordinary differential equations of order n and in particular with constant coefficients and their integration - Integration of Euler differential equations.