Obiettivi Formativi

Lo studente sarà introdotto allo studio delle Logica moderna, enfatizzando in particolare l’approccio algebrico. Alla fine del corso sarà padrone del linguaggio della logica proposizionale e predicativa.Conoscerà i fondamentali sistemi deduttivi ed i classici teoremi più famosi,talvolta generalizzati nei testi recenti.Sarà in grado di consultare e leggere la moderna letteratura relativa agli argomenti trattati. Potrà orientarsi nella scelta di un argomento di ricerca,oggetto della tesi magistrale,da scegliere tra i temi illustrati dal docente Lo studente sarà altresì introdotto allo studio della storia del pensiero matematico dalle origini ai nostri giorni, con riferimento alle diverse problematiche epistemologiche, ai principali momenti di svolta ed evoluzione della matematica "scientifica" ed alle nuove teorie matematiche che hanno contribuito allo sviluppo delle scienze moderne. Sarà in grado di consultare e leggere la letteratura relativa agli argomenti trattati.

Metodi didattici

Le metodologie didattiche impiegate sono la didattica frontale e le esercitazioni in aula, in cui vengono approfonditi dettagliatamente alcune parti del programma. Come ausili didattici vengono usati la lavagna, il computer ed il videoproiettore.

Prerequisiti

Conoscenze di base di logica, algebra, analisi matematica, geometria e fisica.

Verifiche dell'apprendimento

L’esame è finale e si compone di una parte scritta, contenente quesiti a risposta aperta sul programma svolto, ed una orale, in cui oltre a discutere la parte scritta si approfondiscono altre parti del programma. Le due parti sono entrambe obbligatorie.

Programma del Corso

Logica matematica: 1.Calcolo proposizionale.Algoritmi per la semantica di formule.Alberi semantici.Interpretazione e modello. Insiemi di Intikka.Teoria H di Hilbert.Teoremi della teoria H.Lemma di interpolazione.Teorema di definibilità. 2. Calcolo dei predicati.Funzioni di Skolem.Interpretazione.Modello.Modello finito. Modello infinito. Modelli standard.Modello di Herbrand. Teoria di Hilbert HP nel calcolo dei predicati.Teoremi della teoria HP. 3. Algoritmi per la semantica nel calcolo dei predicati. Alberi semantici.Teoremi di soddisfacibiltà.Assiomi logici.Formule derivate. Avatars.Teoremi di soddisfacibilità in termini di avatars.Testimoni di Henkin.Modelli di Henkin. Teorie corrette,complete. Teoremi di compattezza. Teoremi di Goedel.Elementi di teoria dei linguaggi. Strutture. Fondamenti del pensiero matematico: Le origini della matematica. La matematica greco-ellenistica. Pitagora. Platone. La scienza Aristotelica. La geometria Euclidea. La questione delle parallele e le diverse possibili interpretazioni. La scienza ellenistica. Archimede. Apollonio. La cosmologia. La crisi della scienza ellenistica. Il Medio Evo ed il Rinascimento. Il sistema cosmologico Copernicano e Galileo. Cartesio e la geometria analitica. Newton e l'analisi infinitesimale. Leibnitz. L’illuminismo e la matematica. Laplace, Eulero, Fourier, Lagrange e Cauchy. La questione delle parallele in età moderna e le geometrie non euclidee. Gauss, Riemann. Weierstrass e l’analisi moderna. Le rivoluzioni scientifiche del Novecento. Le teorie della probabilità, la logica matematica, l’algebra moderna, l’analisi funzionale, la geometria differenziale e le moderne teorie matematiche che hanno contribuito allo sviluppo delle nuove scienze. Hamilton, Poincaré, Boole, Banach, Hilbert.